Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Artur:

Mas o resultado eh valido em qualquer espaco metrico completo, certo?

[]s,
Claudio.

on 18.06.04 11:17, Artur Costa Steiner at artur@opendf.com.br wrote:

> Vou admitir que se trate de uma sequencia em R^n ou nos complexos. Em
> espacos metricos gerais, a afirmacao naum eh verdadeira.
> 
> Seja {x_n} uma sequencia limitada en um espaco Euclidiano e seja A o
> conjunto de seus pontos de aderencia. Como {x_n} eh limitada, o T. de
> Bolzano-Wierstrass garante que {x_n} contem uma subsequencia convergente.
> Logo, A naum eh vazio.
> Se x naum pertence a A, entao nenhuma subsequencia de {x_n} converge para x.
> Logo, x possui uma vizinhanca V que contem termos de {x_n} para um numero
> apenas finito de indices n. Como V eh uma vizinhanca de todos os seus
> elementos, esta mesma condicao satisfeita por x eh iguamente satisfeita por
> todo y de V. Logo, nenhum y de V e limite de alguma subsequencia de {x_n},
> do que deduzimos que V estah contida no complementar de A. Todo elemento do
> complementar de A eh, portanto, ponto interior dele, o que mostra que o
> complementar eh aberto e que A eh fechado (esta conclusao vale em qualquer
> espaco metrico - a sua prova naum usa a metrica Euclidiana).
> Os pontos de aderencia de {x_n} estao no fecho do conjunto {x_n}. Como a
> sequencia eh limitada, o conjunto {x_n} e seu fecho tambem o sao (o
> diamentro do fecho de um conjunto eh igual ao diametro do conjunto). Logo, A
> eh limitado eh, como eh fechado, o T. de Heine Borel garante que seja
> compacto.  
> 
> Artur     
> 
> 
> 
> Como se prova que o conjunto dos valores de aderência de uma seqüência
> limitada é um conjunto compacto não vazio?
> 
> [ ]’s
> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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