Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Vou admitir que se trate de uma sequencia em R^n ou nos complexos. Em
espacos metricos gerais, a afirmacao naum eh verdadeira.

Seja {x_n} uma sequencia limitada en um espaco Euclidiano e seja A o 
conjunto de seus pontos de aderencia. Como {x_n} eh limitada, o T. de
Bolzano-Wierstrass garante que {x_n} contem uma subsequencia convergente.
Logo, A naum eh vazio.
Se x naum pertence a A, entao nenhuma subsequencia de {x_n} converge para x.
Logo, x possui uma vizinhanca V que contem termos de {x_n} para um numero
apenas finito de indices n. Como V eh uma vizinhanca de todos os seus
elementos, esta mesma condicao satisfeita por x eh iguamente satisfeita por
todo y de V. Logo, nenhum y de V e limite de alguma subsequencia de {x_n},
do que deduzimos que V estah contida no complementar de A. Todo elemento do
complementar de A eh, portanto, ponto interior dele, o que mostra que o
complementar eh aberto e que A eh fechado (esta conclusao vale em qualquer
espaco metrico - a sua prova naum usa a metrica Euclidiana).
Os pontos de aderencia de {x_n} estao no fecho do conjunto {x_n}. Como a
sequencia eh limitada, o conjunto {x_n} e seu fecho tambem o sao (o
diamentro do fecho de um conjunto eh igual ao diametro do conjunto). Logo, A
eh limitado eh, como eh fechado, o T. de Heine Borel garante que seja
compacto.  

Artur     



Como se prova que o conjunto dos valores de aderência de uma seqüência
limitada é um conjunto compacto não vazio?
 
[ ]’s

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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