Re: [obm-l] Problema 16 OBM - Nivel 3

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 07.06.04 19:22, Maurizio at mauz_c@terra.com.br wrote:

> Olá
> a questão 16 é assim:
> 
> [x+2(x-1)^1/2]1/2+[x-2(x-1)^1/2]1/2=2
> 
> Eu obtive essa resoluçãoi mas não está dando certo... Quem escrever
> alguma resolução ou indicar o erro da minha eu agradeço desde já
> {[x+2(x-1)^1/2]1/2}^2+2{[x+2(x-1)^1/2]1/2.[x-2(x-1)^1/2]1/2]}+{[x-2(x-1)^1/2]1
> /2}^2=4
> x+2[x-1]^1/2+2{x^2-2[x-1]^1/2}^1/2+x-2[x-1]^1/2=4
> 2x+2[x^2-4(x-1)]^1/2=4
> x=2
>
Suponho que a equacao seja:
raiz(x + 2*raiz(x - 1)) + raiz(x - 2*raiz(x - 1)) = 2

Restricoes:
1) x - 1 >= 0 ==> 
x >= 1.

2) x - 2*raiz(x - 1) >= 0 ==>
x >= 2*raiz(x - 1) >= 0 ==>
x^2 - 4x + 4 >= 0==>
(x - 2)^2 >= 0 ==>
qualquer x real satisfaz

Logo, se x eh solucao, entao x >= 1.

---

Agora, olhe pros radicandos. Eles sao da forma (a +ou- raiz(b)), ou seja,
eles se parecem com as raizes de uma equacao do 2o. grau.
Mais precisamente, da equacao (em t):
t^2 - 2xt + (x - 2)^2 = 0

Raizes: t1 = x + 2*raiz(x - 1)   e   t2 = x - 2*raiz(x - 1)

A equacao original eh:
raiz(t1) + raiz(t2) = 2 ==>
t1 + t2 + 2*raiz(t1*t2) = 4.

t1 + t2 = 2x
t1*t2 = (x - 2)^2 ==>
2x + 2*raiz((x - 2)^2) = 4 ==>
x + |x - 2| = 2.

x >= 2 ==> 2x - 2 = 2 ==> x = 2
x < 2 ==> 2 = 2 ==> qualquer x satisfaz

Logo, o conjunto solucao eh o intervalo [1,2].


[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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