RE: [obm-l] Problema 16 OBM - Nivel 3

[Rogério Moraes de Carvalho <rogeriom@xxxxxxx>]

Resolva no campo dos reais a equação:
sqr[x + 2.sqr(x - 1)] + sqr[x - 2.sqr(x - 1)] = 2


RESOLUÇÃO POSSÍVEL:

Condição de existência no campo dos reais:
x - 1 >= 0 <=> x >= 1

Considerando x >= 1, podemos concluir que:
x + 2.sqr(x - 1) = [sqr(x - 1)]^2 + 2.sqr(x - 1) + 1 = [sqr(x - 1) + 1]^2
x - 2.sqr(x - 1) = [sqr(x - 1)]^2 - 2.sqr(x - 1) + 1 = [sqr(x - 1) - 1]^2

Logo, teremos:
sqr{[sqr(x - 1) + 1]^2} + sqr{[sqr(x - 1) - 1]^2} = 2
|sqr(x - 1) + 1| + |sqr(x - 1) - 1| = 2 (i)

x - 1 >= 0 => sqr(x - 1) >= sqr(0) => sqr(x - 1) + 1 >= 1 => |sqr(x - 1) +
1| = sqr(x - 1) + 1 (ii)
A função sqr(X) é estritamente crescente em X, para todo X real não
negativo, logo: sqr(X1) - sqr(X2) >= 0 <=> sqr(X1) <= sqr(X2) <=> X1 <= X2 e
sqr(X1) - sqr(X2) < 0 <=> sqr(X1) < sqr(X2) <=> X1 < X2, para todos X1, X2
reais não negativos. Sendo assim, analisando a expressão sqr(x - 1) - 1 =
sqr(x - 1) - sqr(1), concluímos que:
sqr(x - 1) - sqr(1) < 0 <=> x - 1 < 1 <=> x < 2
sqr(x - 1) - sqr(1) >= 0 <=> x - 1 >= 1 <=> x >= 2
Logo:
|sqr(x - 1) - 1| = sqr(x - 1) - 1, para x >= 2 e |sqr(x - 1) - 1| = 1 -
sqr(x - 1), para x < 2 (iii)


Substituindo (ii) e (iii) em (i), teremos:

Para 1 <= x < 2:
sqr(x - 1) + 1 + 1 - sqr(x - 1) = 2 <=> 0.sqr(x - 1) = 0 (Satisfeita para
qualquer x no intervalo considerado, ou seja, 1 <= x < 2) (iv)

Para x >= 2:
sqr(x - 1) + 1 + sqr(x - 1) - 1 = 2 <=> 2.sqr(x - 1) = 2 <=> [sqr(x - 1)]^2
= 1^2 (observe que os radicandos são não negativos) <=> x - 1 = 1 <=> x = 2
(v)

Unindo as soluções de (iv) e (v): S = [1, 2] = {x real | 1 <= x <= 2}

Resposta: S = [1, 2] = {x real | 1 <= x <= 2}


Abraços,


Rogério Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Maurizio
Sent: segunda-feira, 7 de junho de 2004 19:22
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Problema 16 OBM - Nivel 3

Olá
a questão 16 é assim:

[x+2(x-1)^1/2]1/2+[x-2(x-1)^1/2]1/2=2

Eu obtive essa resoluçãoi mas não está dando certo... Quem escrever 
alguma resolução ou indicar o erro da minha eu agradeço desde já
{[x+2(x-1)^1/2]1/2}^2+2{[x+2(x-1)^1/2]1/2.[x-2(x-1)^1/2]1/2]}+{[x-2(x-1)^1/2
]1/2}^2=4
x+2[x-1]^1/2+2{x^2-2[x-1]^1/2}^1/2+x-2[x-1]^1/2=4
2x+2[x^2-4(x-1)]^1/2=4
x=2
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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