RE: [obm-l] colegio naval

[Rogério Moraes de Carvalho <rogeriom@xxxxxxx>]

Olá Leandro,

	O somatório apresentado neste problema corresponde a um caso
particular da seguinte soma:
S[n] = 1/(a[1].a[2]) + 1/(a[2].a[3]) + ... + 1/(a[n-1].a[n]), com n inteiro
maior ou igual a 2 e a[1], a[2], a[3], ..., a[n] termos não nulos de uma
progressão aritmética. Um método possível de dedução da fórmula para o
cálculo de S[n] é idêntico ao que eu apresento para o caso geral da soma
deste problema em específico.

	Na resolução abaixo, considere a notação abaixo.
S{k=1,k=n}(a[k]): Somatório de a índice k, com k variando de 1 até n.


RESOLUÇÃO POSSÍVEL:

Queremos encontrar a seguinte soma:
S=13/(2.4)+13/(4.6)+13/(6.8)+...+13/(50.52)
S=13.{1/[(2.1)(2.2)]+1/[(2.2)(2.3)]+1/[(2.3)(2.4)]+...+1/[(2.25)(2.26)]}

S=13.S[25] (i), onde a S[n] é dada por:

S[n]= 1/[(2.1)(2.2)]+1/[(2.2)(2.3)]+...+ 1/{(2n)[2(n+1)]}
S[n]=S{k=1,k=n}(1/{(2k)[2(k+1)]}) (ii), com n inteiro positivo.

Para decompor a fração 1/{(2k)[2(k+1)]} em frações parciais, podemos
encontrar A e B tais que:
1/{(2k)[2(k+1)]}=A/(2k)+B/[2(k+1)] (iii), com k inteiro positivo.
1/{(2k)[2(k+1)]}=[A(2k+2)+B(2k)]/{(2k)[2(k+1)]}
1/{(2k)[2(k+1)]}=[2(A+B)k+2A]/{(2k)[2(k+1)]}
1=2(A+B)k+2A, para todo k inteiro positivo.
Logo:
2A=1<=>A=1/2 (iv)
2(A+B)=0<=>B=-A<=>B=-1/2 (v)

Substituindo (iv) e (v) na (iii), concluímos que:
1/{(2k)[2(k+1)]}=1/(4k)-1/[4(k+1)] (vi)

Substituindo (vi) na (ii):
S[n]=S{k=1,k=n}(1/(4k)-1/[4(k+1)])
S[n]=S{k=1,k=n}(1/(4k))-S{k=1,k=n}(1/[4(k+1)])
S[n]=S{k=1,k=n}(1/(4k))-S{k+1=2,k+1=n+1}(1/[4(k+1)])
S[n]=S{k=1,k=n}(1/(4k))-S{k=2,k=n+1}(1/[4k])
S[n]=1/(4.1)+S{k=2,k=n}(1/(4k))-S{k=2,k=n}(1/[4k])-1/[4(n+1)]
S[n]=1/4-1/[4(n+1)]
S[n]=(n+1-1)/[4(n+1)]
S[n]=n/[4(n+1)] (vii)

Usando a fórmula (vii) na igualdade expressão (i), teremos:
S=13.S[25]=13.25/(4.26)=25/8

Resposta: Alternativa C


Atenciosamente,

Rogério Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of leandro-epcar
Sent: segunda-feira, 24 de maio de 2004 10:08
To: obm-l
Subject: [obm-l] colegio naval

  Alguem poderia me dar uma ideia nesta questao ,nao 
consigo achar uma sequencia ,nem mesmo calcular, esta 
questao.
   grato 
leandro



   Colegio naval   1994

  Sabendo-se que a seguinte identidade  (AX + BY)/XY =
A/Y + B/X é verdadeira para quaisquer números reais A,B,
X<>0,Y<>0,
  o valor de 13/(2*4)+ 13 /(4*6)+ 13/ ( 6*8) +...+13/
(50*52)

(A)25/16
(B)25/12
(C)25/8
(D)25/4
(E)25/2

 
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