Olá pessoal, gostaria de saber se alguém poderia me ajudar com uns exercícios de álgebra. Grato desde já com a possível ajuda de vocês.
1) Determinar todos os polinômios de grau 2 que sejam irredutíveis sobre Z/5Z.
2) Mostre que x^3 + x + 1 pertencente a Z/5Z[x] é irredutível sobre Z/5Z .
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Suponha o contrario.
Na base do teste ve-se que nao ha raizes deste polinomio em Z(5).Assim sendo, este polinomio seria escrevivel como produto de outros dois polinomios de grau >=2.Mas ai este polinomio teria grau pelo menos 4! E isto e absurdo!
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3) Seja f(x) em R[x] tal que gr(f) = 2. Prove que, f(x) é irredutível sobre R (reais) se, e só se, f(x) pode ser escrito na forma f(x) = (x - a)^2 + b^2 onde a, b são reais e b diferente de zero.
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Este parece mais facil...Bem, um polinomio de grau 2 e sempre redutivel em C.Para ser redutivel em R, basta que as suas raizes sejam reais.E todos os polinomios da forma acima (e so eles) nao tem raizes reais
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4) Prove que f(x) = x^2 + 1 é irredutível sobre Z/7Z e construa um corpo contendo 49 elementos.
Esses exercícios foram retirados do livro Introdução à Álgebra, Adilson Gonçalves.