Re: [obm-l] ajuda

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] ajuda

on 21.05.04 06:47, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:

> Olá pessoal, gostaria de saber se alguém poderia me ajudar com uns exercícios de álgebra. Grato desde já com a possível ajuda de vocês.
>  
> 1) Determinar todos os polinômios de grau 2 que sejam irredutíveis sobre Z/5Z.
>  
> Um polinomio quadratico eh redutivel sobre um corpo se e somente se ele tem as duas raizes nesse corpo. Assim, uma ideia seria comecar buscando todos os polinomios redutiveis sobre Z/5Z. Estes serao da forma:
> p(x) = a(x - b)(x - c),  onde a,b,c pertencem a Z/5Z e a <> 0.
>
> Depois eh soh retira-los do conjunto de 100 polinomios quadraticos que existem em Z/5Z[x].
>
> Eh meio bracal, mas bem facil de fazer com um computador.
>
> ***
>
> 2) Mostre que x^3 + x + 1 pertencente a Z/5Z[x] é irredutível sobre Z/5Z .
>
> Eh soh verificar que nenhum elemento de Z/5Z eh raiz de x^3 + x + 1.
>
> ***
>  
> 3) Seja f(x) em R[x] tal que gr(f) = 2. Prove que, f(x) é irredutível sobre R (reais) se, e só se, f(x) pode ser escrito na forma f(x) = (x - a)^2 + b^2 onde a, b são reais e b diferente de zero.
>
> Na verdade, o enunciado soh serah verdade se a hipotese de f(x) ser monico for adicionada, afinal f(x) = 2x^2 eh redutivel sobre R e nao pode ser escrito da forma acima. Supondo, portanto, que f(x) eh monico, ou seja f(x) = x^2 + px + q, com p, q reais, teremos:
>
> x^2 + px + q eh irredutivel sobre R <==>
> x^2 + px + q nao tem raizes reais <==>
> p^2 - 4q < 0 <==>
> q - p^2/4 > 0 <==>
> q - p^2/4 = b^2 para algum b real e nao nulo <==>
> x^2 + px + q = 
> x^2 + 2*(p/2)*x + p^2/4 + q - p^2/4 =
> (x + p/2)^2 + (q - p^2/4) =
> (x + p/2)^2 + b^2.
>
> Pondo a = -p/2, o resultado esath provado.
>
> ***
>
> 4) Prove que f(x) = x^2 + 1 é irredutível sobre Z/7Z e construa um corpo contendo 49 elementos.
>
> Em Z/7Z: 0^2 = 0, 1^2 = (-1)^2 = 1, 2^2 = (-2)^2 = 4, 3^2 = (-3)^2 = 2.
>
> Logo, -1 = 6 nao eh quadrado em Z/7Z. Ou seja, f(x) nao tem raizes em Z/7Z.
> Isso significa que f(x) eh irredutivel sobre Z/7Z. Logo, <x^2+1> eh um ideal maximal de (Z/7Z)[x] e, portanto, F = (Z/7Z)[x]/<x^2 + 1> eh um corpo.
>  
> F consiste de todos os elementos da forma (ax + b + <x^2 + 1>), onde a e b pertencem a Z/7Z.  Com a e b podem assumir, cada um, 7 valores distintos, F terah justamente 7*7 = 49 elementos distintos.
>   
>
> []s,
> Claudio.