Re: [obm-l] exercícios

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Fabio:

Jah vi voce dar solucoes mais bonitinhas pra outros problemas!
De qualquer forma, muito obrigado. O mais importante eh voce ter resolvido o
problema.

Realmente, eu me esqueci da "outra" raiz de x(x+1) = 30 ao formular a
conjectura.

[]s,
Claudio.

on 16.05.04 22:38, Fabio Dias Moreira at fabio@dias.moreira.nom.br wrote:

> 
> Claudio Buffara said:
>> on 14.05.04 11:53, biper at biper@bol.com.br wrote:
>> 
>>> alguém pode me ajudar nessas duas:
>>> 
>>> 
>>> 1)Achar todos pares ordenados (x,y), que satisfaçam a
>>> relação abaixo
>>> x^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y.
>>> 
>> Supondo que estamos interessados apenas nas solucoes inteiras, eu faco a
>> seguinte conjectura:
>> As unicas solucoes sao (0,0), (-1,0), (0,-1), (-1,-1) e (5,2).
>> 
>> No entanto, nao consegui provar isso. Imagino que envolva alguma
>> fatoracao macetosa. Alguem tem alguma ideia?
>> [...]
> 
> Note que a equação equivale a x^2 + x - (y^4 + y^3 + y^2 + y) = 0. Para
> que x seja inteiro, é necessário e suficiente que o discriminante da
> equação seja um quadrado perfeito (é necessário pois x é racional, é
> suficiente pois x é inteiro algébrico, e todo inteiro algébrico é
> inteiro).
> 
> Logo 4y^4 + 4y^3 + 4y^2 + 4^y + 1 = z^2 <=>
> (2y^2 + y + 1)^2 - y^2 + 2y = z^2 <=>
> (2y^2 + y + 1)^2 - z^2 = y^2 - 2y <=>
> (2y^2 + y + 1 + z)(2y^2 + y + 1 - z) = y^2 - 2y.
> 
> Se y = 0, 1, 2, então a equação original equivale a x(x+1) = 0, x(x+1) =
> 4, x(x+1) = 30, respectivamente. A segunda equação não tem solução, a
> primeira dá duas soluções (0, 0) e (-1, 0); a terceira dá outras duas, (5,
> 2) e (-6, 2).
> 
> Caso y < 0 ou y > 2, y está fora do intervalo das raízes de y^2 - 2y, logo
> y^2 - 2y > 0. Como z é não-negativo sem perda de generalidade, 2y^2 + y +
> 1 + z = (7/4)*y^2 + (y/2 + 1)^2 + z > 0, pois é soma de termos positivos
> (y/2 + 1 e y não podem ser ambos zero). Logo 2y^2 + y + 1 - z > 0, pois
> quando multiplicado por um número positivo (2y^2 + y + 1 + z) dá como
> resultado um número positivo (y^2 - 2y). Logo 2y^2 + y + 1 - z >= 1, pois
> é inteiro. Mas então
> 
> 2y^2 + y + 1 <= 2y^2 + y + 1 + z <= (2y^2 + y + 1 + z)(2y^2 + y + 1 - z) =
> y^2 - 2y <=>
> y^2 + 3y + 1 <= 0 <=>
> (-3-sqrt(5))/2 <= y <= (-3+sqrt(5))/2 <=>
> -2 <= y <= -1.
> 
> Logo y = -1 ou y = -2. Substituindo na equação original, x(x+1) = 0 ou
> x(x+1) = 10, respectivamente. O primeiro caso dá duas soluções, (0, -1) e
> (-1, -1). A segunda não tem soluções.
> 
> Logo a equação tem exatamente seis soluções inteiras: (-1, -1), (-1, 0),
> (0, -1), (0, 0), (-6, 2) e (5, 2).
> 
> []s,


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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