Re: [obm-l] exercícios

["Fabio Dias Moreira" <fabio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Claudio Buffara said:
> on 14.05.04 11:53, biper at biper@bol.com.br wrote:
>
>> alguém pode me ajudar nessas duas:
>>
>>
>> 1)Achar todos pares ordenados (x,y), que satisfaçam a
>> relação abaixo
>> x^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y.
>>
> Supondo que estamos interessados apenas nas solucoes inteiras, eu faco a
> seguinte conjectura:
> As unicas solucoes sao (0,0), (-1,0), (0,-1), (-1,-1) e (5,2).
>
> No entanto, nao consegui provar isso. Imagino que envolva alguma
> fatoracao macetosa. Alguem tem alguma ideia?
> [...]

Note que a equação equivale a x^2 + x - (y^4 + y^3 + y^2 + y) = 0. Para
que x seja inteiro, é necessário e suficiente que o discriminante da
equação seja um quadrado perfeito (é necessário pois x é racional, é
suficiente pois x é inteiro algébrico, e todo inteiro algébrico é
inteiro).

Logo 4y^4 + 4y^3 + 4y^2 + 4^y + 1 = z^2 <=>
(2y^2 + y + 1)^2 - y^2 + 2y = z^2 <=>
(2y^2 + y + 1)^2 - z^2 = y^2 - 2y <=>
(2y^2 + y + 1 + z)(2y^2 + y + 1 - z) = y^2 - 2y.

Se y = 0, 1, 2, então a equação original equivale a x(x+1) = 0, x(x+1) =
4, x(x+1) = 30, respectivamente. A segunda equação não tem solução, a
primeira dá duas soluções (0, 0) e (-1, 0); a terceira dá outras duas, (5,
2) e (-6, 2).

Caso y < 0 ou y > 2, y está fora do intervalo das raízes de y^2 - 2y, logo
y^2 - 2y > 0. Como z é não-negativo sem perda de generalidade, 2y^2 + y +
1 + z = (7/4)*y^2 + (y/2 + 1)^2 + z > 0, pois é soma de termos positivos
(y/2 + 1 e y não podem ser ambos zero). Logo 2y^2 + y + 1 - z > 0, pois
quando multiplicado por um número positivo (2y^2 + y + 1 + z) dá como
resultado um número positivo (y^2 - 2y). Logo 2y^2 + y + 1 - z >= 1, pois
é inteiro. Mas então

2y^2 + y + 1 <= 2y^2 + y + 1 + z <= (2y^2 + y + 1 + z)(2y^2 + y + 1 - z) =
y^2 - 2y <=>
y^2 + 3y + 1 <= 0 <=>
(-3-sqrt(5))/2 <= y <= (-3+sqrt(5))/2 <=>
-2 <= y <= -1.

Logo y = -1 ou y = -2. Substituindo na equação original, x(x+1) = 0 ou
x(x+1) = 10, respectivamente. O primeiro caso dá duas soluções, (0, -1) e
(-1, -1). A segunda não tem soluções.

Logo a equação tem exatamente seis soluções inteiras: (-1, -1), (-1, 0),
(0, -1), (0, 0), (-6, 2) e (5, 2).

[]s,

-- 
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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