RE: [obm-l] cococolegio navalvalval

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal,

Vou ver se consigo ser mais claro agora.

1) Alguem errou o enunciado de uma questao e propos o calculo de 1/(M^2)  +  
1/(N^3)
quando deveria ter proposto 1/(N^3) + 1/(M^3).  Aqui, M e N sao raizes de 
uma equacao
do 2 grau.

2) Dado que (M+N)^P = M^P + ALGO MAIS + N^P => M^P + N^P = (M+N)^P - ALGO 
MAIS.
Dai : 1/(N^P) + 1/(M^P) = [(M+N)^P - ALGO MAIS ]/(MN)^P e que (M+N)^P, ALGO 
MAIS e
(MN)^P podem ser efetivamente expressos em funcao de M+N e de MN ... ACABOU

3) O Passo 2) acima, numa lista de discussao de problemas de matematica 
olimpica, e equivalente
a querer ensinar o PAI NOSSO pra Padre Aposentado. Logo, trivial e sem 
graca.

4) O erro de enunciado do passo 1) propoe uma questao que - nao obstante 
poder apresentar
alguma assimetria - constitui-se num problema digno de figurar nesta nossa 
lista e e conforme a
nossa tradicao. Em x^2 - 10x + 1 = 0, como encontrar, por exemplo, 1/(M^537) 
+ 1/(N^601),
onde M e N sao raizes.

Isso me parece uma questao interessante ... O desenvolvimento abaixo pode 
ajudar de alguma
forma :

Sejam N e M raizes e A e B naturais positivos. Podemos admitir que :

M^A + N^A = C1 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN
M^B + N^B = C2 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN
Daqui : (M^A + N^B) + (M^B + N^A ) = C1 + C2 = efetivamente calculavel

Mas (M^A+N^B)(M^B +N^A) = M^(A+B) + (MN)^A + (MN)^B + N^(A+B)
como M^(A+B) + N^(A+B) = (M+N)^(A+B) - ALGO MAIS = efetivamente
calculavel, entao :

(M^A+N^B)(M^B +N^A) = C3 = efetivamente calculavel

Fazendo M^A + N^B = D   e    M^B + N^A = E

D + E = C1 + C2
DE = C3
=> D e E sao efetivamente calculaveis.

Por lado, de :
M^A + N^A = C1 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN
M^B + N^B = C1 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN
Vem que C1*C2 = M^(A+B) + (M^A)(N^B) + (M^B)(N^A) + N^(A+B) =>
(M^A)(N^B) + (M^B)(N^A) = C1*C2 - [ M^(A+B) + N^(A+B) ] = C4 =
efetivamente calculavel e :

(M^A)(N^B)*(M^B)(N^A) = (MN)^(A+B) = C5 =efetivamente c alculavel

Fazendo (M^A)*(N^B) = F e (M^B)*(N^A) = G segue que :
F + G = C4
FG = C5
=> F e G sao efetivamente calculaveis.

Sao portanto efetivamente calculaveis D, E, F e G. Daqui :

1/(M^A)  +  1/(N^B) = [N^B +M^A]/[(M^A)(N^B)]=D/F = efetivamente calculavel
1/(M^B)  +  1/(N^A) = [N^A +M^B]/[(M^B)(N^A)]=E/G = efetivamente calculavel

Evidentemente, e necessario algum cuidado adicional num passo ou outro. Mas 
isso e de
somenos interesse e deixamos ao Dr Pangloss, para que ele mostre sua 
sapiencia e cuide
dos miiiiiinimos detalhes ...

E parabens ao colega que colocou o enunciado errado.

Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
5,2310,130504

>From: Rogério Moraes de Carvalho <rogeriom@gmx.net>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: RE: [obm-l] cococolegio navalvalval
>Date: Thu, 13 May 2004 16:14:14 -0300

>Quanto aos comentários do Paulo Santa Rita, eu não consegui entender
>a intenção da questão proposta e nem a aplicação para calcular 1/M^3 + 
>1/N^2
>no problema do Colégio Naval. Inclusive, tem alguns passos que eu não
>consegui entender, como em:
>(M+N)^3 = M^3 + 2(M^2)N + 3M(N^2) +N^2 = M^3 +3MN(M+N) + N^3
>A expressão intermediária não deveria ser M^3 + 3(M^2)N + 3M(N^2) + N^3 ao
>invés de M^3 + 2(M^2)N + 3M(N^2) +N^2? De qualquer modo, o resultado final
>ficou correto.
>
>	Eu não consegui entender a generalização do problema e nem como esta
>generalização pode ser aplicada para resolver este problema específico.
>
>Abraços,
>
>Rogério Moraes de Carvalho
>rogeriom@gmx.net

_________________________________________________________________
MSN Messenger: converse com os seus amigos online.  
http://messenger.msn.com.br

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================