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RE: [obm-l] cococolegio navalvalval
Olá Leandro,
Eu não tenho acesso às provas dos exames passados do Colégio Naval,
porém eu acredito que o Pacini esteja correto. Principalmente, porque se o
problema estiver pedindo o valor da expressão 1/M^3 + 1/N^2, então não há
alternativa alguma que satisfaça o problema, mesmo que uma das soluções seja
aproximadamente igual a 970. Mas, se o problema estiver pedindo o valor da
expressão 1/M^3 + 1/N^3, então o resultado é igual a exatamente 970
(Alternativa A).
De qualquer modo, vamos supor que o problema tenha pedido o valor da
expressão 1/M^3 + 1/N^2. Neste caso, a expressão produz resultados
diferentes dependendo da escolha das raízes que representarão M e N,
respectivamente. Vamos à resolução "braçal" do problema neste caso.
**********************************
CÁLCULO DA EXPRESSÃO 1/M^3 + 1/N^2
**********************************
Calculando as raízes da equação X^2 - 10X + 1 = 0, encontramos:
X1 = 5 - 2.sqr(6) e X2 = 5 + 2.sqr(6)
Primeira solução:
-----------------
Fazendo M = X1 e N = X2, teremos
1/M^3 + 1/N^2 = 178.[3 + sqr(6)] = 970,009174215... (aproximadamente 970)
Observação: Não se pode concluir que a alternativa A seja correta, pois além
do resultado 970 ser aproximado, esta é apenas uma das soluções possíveis.
Segunda solução:
----------------
Fazendo M = X2 e N = X1, teremos
1/M^3 + 1/N^2 = 178.[3 - sqr(6)] = 97,9908257852... (aproximadamente 98)
Conclusão: Se o enunciado original realmente for 1/M^3 + 1/N^2, então esta
questão deveria ser anulada uma vez que há duas soluções. Mesmo que a única
solução fosse 178.[3 + sqr(6)] não seria correto assinalar a alternativa A
como correta, a não ser que o enunciado deixasse explícito que se deseja o
valor aproximado da expressão. Ou seja, algo como:
"Sendo M e N as raízes da equação X^2-10X+1=0 , o valor aproximado da
expressão 1/M^3 + 1/N^2 é:"
Agora vamos à solução do problema supondo que a expressão pedida
seja 1/M^3 + 1/N^2.
**********************************
CÁLCULO DA EXPRESSÃO 1/M^3 + 1/N^3
**********************************
Segue a resolução que eu havia apresentado em uma mensagem anterior.
Colocando a expressão 1/M^3 + 1/N^3 em função da soma S = M + N = -b/a = 10
e do produto das raízes P = M.N = c/a = 1, teremos:
1/M^3 + 1/N^3 = (M^3 + N^3)/(M^3.N^3) = [(M + N).(M^2 - M.N + N^2]/[(M.N)^3]
= [(M + N).(M + N)^2 - 3.M.N]/[(M.N)^3] = [S.(S^2 - 3.P)]/(P^3) = [10.(10^2
- 3.1)]/(1^3) = 10.(100 - 3) = 970
Alternativa A
Quanto aos comentários do Paulo Santa Rita, eu não consegui entender
a intenção da questão proposta e nem a aplicação para calcular 1/M^3 + 1/N^2
no problema do Colégio Naval. Inclusive, tem alguns passos que eu não
consegui entender, como em:
(M+N)^3 = M^3 + 2(M^2)N + 3M(N^2) +N^2 = M^3 +3MN(M+N) + N^3
A expressão intermediária não deveria ser M^3 + 3(M^2)N + 3M(N^2) + N^3 ao
invés de M^3 + 2(M^2)N + 3M(N^2) +N^2? De qualquer modo, o resultado final
ficou correto.
Eu não consegui entender a generalização do problema e nem como esta
generalização pode ser aplicada para resolver este problema específico.
Abraços,
Rogério Moraes de Carvalho
rogeriom@gmx.net
-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of leandro-epcar
Sent: quinta-feira, 13 de maio de 2004 12:08
To: obm-l
Cc: obm-l
Subject: RE: [obm-l] cococolegio navalvalval
pacini o enunciado é este e a resposta é a
letra "a"
---------- Início da mensagem original -----------
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc:
Data: Sun, 09 May 2004 15:26:55 +0000
Assunto: RE: [obm-l] cococolegio navalvalval
> Ola Pessoal,
>
> Bendito erro de transcricao ! A solucao de um
problema trivial acrescenta
> muito pouco ao
> espirito e objetivos originais desta nossa lista.
>
> Sem duvida e verdade que devemos apresentar os
enunciados tal como eles
> realmente sao,
> mas o erro de transcricao abaixo abaixo parece
sugerir um problema MAIS
> CONFORME o elan
> olimpico que nos inspira ...
>
> Se M e N sao raizes da equacao X^2 - Bx + 1 = 0, B >
2, entao para P primo,
> existe uma forma
> sintetica ( em funcao de B ) de exprimir
>
> f(M,N) = 1/(M^(P+1)) + 1/(N^P) ?
>
> Se P=2, entao, claramente :
>
> (M+N)^2 = M^2 + 2MN + N^2 = M^2 + N^2 + 2, pois MN = 1
> (M+N)^3 = M^3 + 2(M^2)N + 3M(N^2) +N^2 = M^3 +3MN
(M+N) + N^3
> (M+N)^2 + (M+N)^3 - 3MN(M+N) - 2 = (M^2 + N^3) + (M^3
+ N^2)
>
> No caso, M=1/N e M^P + 1/M^P =f(M+1/M) e M+1/M = B
para todo P ...
>
> Um Abraco a Todos
> Paulo Santa Rita
> 1,1222,090504
>
> >-----Original Message-----
> >From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-
l@mat.puc-rio.br] On
> >Behalf Of Pacini bores
> >Sent: sábado, 8 de maio de 2004 18:49
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: Re: [obm-l] cococolegio navalvalval
> >
> >
> >Olá Leandro ,
> >
> >O enunciado correto eh :
> > Sendo M e N as raízes da equação X^2-10X+1=0 , o
> >valor da expressão 1/M^3 + 1/N^3 , ok ?
> >
> >[]´s Pacini
> >
> >
> >
> > > COLÉGIO NAVAL (1989)
> > >
> > > Sendo M e N as raízes da equação X^2-10X+1=0 , o
> > >valor da expressão 1/M^3 + 1/N^2 é :
> > >
> > > (A) 970
> > > (B) 950
> > > (C) 920
> > > (D) 900
> > > (E) 870
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