RE: [obm-l] cococolegio navalvalval

[Rogério Moraes de Carvalho <rogeriom@xxxxxxx>]

Olá Paulo,

	No Web Site da Olimpíada Brasileira de Matemática, você poderá
encontrar o seguinte parágrafo que descreve a Lista de Discussão de
Problemas de Matemática Olímpica:
"Está aberta uma lista de discussão de problemas de Matemática Olímpica.
A lista é inteiramente gratuita e encontra-se aberta a todos os alunos e
professores que quiserem participar."

	Existem vários níveis de Olimpíadas de Matemática no Brasil e no
mundo. Eu acredito que os alunos que estão se preparando podem encontrar
nesta lista um ponto de apoio. Cada um deles vai ter seus pontos fortes e
fracos na Matemática, assim como qualquer um de nós. Devemos ter bom senso
na hora de avaliar o que pode ser omitido numa resolução por ser óbvio e o
que deve ser apresentado por não ser tão evidente.

	Eu entendi perfeitamente todos os passos do seu raciocínio, porém
ele não é conclusivo, omite detalhes que não são nem um pouco elementares e
não é suficiente nem mesmo para resolver a questão original do Colégio Naval
com o enunciado incorreto.

	Quem sabe você não pode esclarecer OBJETIVAMENTE as questões que eu
apresento nos comentários abaixo. Entenda objetivamente como: apresentado
resultados completos (não parciais).

"1) Alguem errou o enunciado de uma questao e propos o calculo de 1/(M^2)  +

1/(N^3) quando deveria ter proposto 1/(N^3) + 1/(M^3).  Aqui, M e N sao
raizes de uma equacao do 2 grau."

COMENTÁRIO: Apresente uma solução elegante para o problema com o enunciado
errado. Quem sabe você não aplica a sua generalização do problema a este
caso particular. Porém, que a resolução seja mais simples do que substituir
M e N pelas raízes da equação.


"2) Dado que (M+N)^P = M^P + ALGO MAIS + N^P => M^P + N^P = (M+N)^P - ALGO 
MAIS. Dai : 1/(N^P) + 1/(M^P) = [(M+N)^P - ALGO MAIS ]/(MN)^P e que (M+N)^P,
ALGO MAIS e (MN)^P podem ser efetivamente expressos em funcao de M+N e de MN
... ACABOU"

COMENTÁRIO: Apresentar um raciocínio Matemático com "ALGO MAIS" no meio de
uma expressão me parece algo um tanto quanto chulo. Dizer que "(M+N)^P, ALGO
MAIS e (MN)^P podem ser efetivamente expressos em funcao de M+N e de MN ...
ACABOU" omite uma questão nem um pouco elementar. Na realidade (M+N)^P e
(MN)^P já estão em função de M+N, MN e P. Porém, o "ALGO MAIS" que foi
omitido corresponde aos termos centrais (excluindo somente os termos
extremos) do desenvolvimento do Binômio de Newton e não é nem um pouco
simples colocá-los em função de M + N, MN e P.
Como você colocou como elementar esta passagem, por favor, nos apresente o
seu raciocínio matemático e APRESENTE uma fórmula geral que permita calcular
M^P + N^P em função de M + N, MN e P.


"3) O Passo 2) acima, numa lista de discussao de problemas de matematica 
olimpica, e equivalente a querer ensinar o PAI NOSSO pra Padre Aposentado.
Logo, trivial e sem graca."

COMENTÁRIO: Infelizmente, apesar de já ter resolvidos vários problemas de
Olimpíadas de Matemática, eu ainda não consegui encontrar uma maneira
SIMPLES de deduzir M^P + N^P em função de M + N, MN e P. Porque você não
compartilha a sua dedução elementar conosco.


"4) O erro de enunciado do passo 1) propoe uma questao que - nao obstante 
poder apresentar alguma assimetria - constitui-se num problema digno de
figurar nesta nossa lista e e conforme a nossa tradicao. Em x^2 - 10x + 1 =
0, como encontrar, por exemplo, 1/(M^537) + 1/(N^601), onde M e N sao
raizes."

COMENTÁRIO: Eu estou ansioso para ver o valor de 1/(M^537) + 1/(N^601),
sendo M e N raízes da equação x^2 - 10x + 1 = 0. Qual é o resultado desta
expressão? Por favor, apresente as duas soluções possíveis para o problema.


"Isso me parece uma questao interessante... O desenvolvimento abaixo pode 
ajudar de alguma forma:"

COMENTÁRIO: Quer dizer que o desenvolvimento apresentado não resolve a
questão que você propôs? 


"Sejam N e M raizes e A e B naturais positivos. Podemos admitir que:

M^A + N^A = C1 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN
M^B + N^B = C2 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN
Daqui : (M^A + N^B) + (M^B + N^A ) = C1 + C2 = efetivamente calculavel"

COMENTÁRIO: Na realidade, M^A + N^A = C1 pode ser calculado em função de M +
N, MN e "A" e M^B + N^B = C2 pode ser calculado em função de M + N, MN e
"B". Por favor, prove a sua afirmação MOSTRANDO a expressão de M^A + N^A em
função de M + N, MN e A.


COMENTÁRIO DO RESTANTE DO RACIOCÍNIO: Será que os jurados de uma Olimpíada
de Matemática aceitariam o desenvolvimento de um raciocínio matemático com a
omissão de vários passos essenciais e com expressões como "ALGO MAIS" e
"efetivamente calculável"? Deste modo, seria simples demonstrar um teorema,
bastando para isto omitir partes da demonstração e utilizar um "ALGO MAIS"
ou um "efetivamente calculável".
Quem sabe o Morgado, que já foi membro do Jurado Internacional na 34ª
Olimpíada Internacional de Matemática, realizada em Istambul em 1993, não
poderia nos esclarecer esta dúvida.


Abraços,

Rogério Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Paulo Santa Rita
Sent: quinta-feira, 13 de maio de 2004 23:12
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] cococolegio navalvalval

Ola Pessoal,

Vou ver se consigo ser mais claro agora.

1) Alguem errou o enunciado de uma questao e propos o calculo de 1/(M^2)  +

1/(N^3)
quando deveria ter proposto 1/(N^3) + 1/(M^3).  Aqui, M e N sao raizes de 
uma equacao
do 2 grau.

2) Dado que (M+N)^P = M^P + ALGO MAIS + N^P => M^P + N^P = (M+N)^P - ALGO 
MAIS.
Dai : 1/(N^P) + 1/(M^P) = [(M+N)^P - ALGO MAIS ]/(MN)^P e que (M+N)^P, ALGO 
MAIS e
(MN)^P podem ser efetivamente expressos em funcao de M+N e de MN ... ACABOU

3) O Passo 2) acima, numa lista de discussao de problemas de matematica 
olimpica, e equivalente
a querer ensinar o PAI NOSSO pra Padre Aposentado. Logo, trivial e sem 
graca.

4) O erro de enunciado do passo 1) propoe uma questao que - nao obstante 
poder apresentar
alguma assimetria - constitui-se num problema digno de figurar nesta nossa 
lista e e conforme a
nossa tradicao. Em x^2 - 10x + 1 = 0, como encontrar, por exemplo, 1/(M^537)

+ 1/(N^601),
onde M e N sao raizes.

Isso me parece uma questao interessante ... O desenvolvimento abaixo pode 
ajudar de alguma
forma :

Sejam N e M raizes e A e B naturais positivos. Podemos admitir que :

M^A + N^A = C1 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN
M^B + N^B = C2 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN
Daqui : (M^A + N^B) + (M^B + N^A ) = C1 + C2 = efetivamente calculavel

Mas (M^A+N^B)(M^B +N^A) = M^(A+B) + (MN)^A + (MN)^B + N^(A+B)
como M^(A+B) + N^(A+B) = (M+N)^(A+B) - ALGO MAIS = efetivamente
calculavel, entao :

(M^A+N^B)(M^B +N^A) = C3 = efetivamente calculavel

Fazendo M^A + N^B = D   e    M^B + N^A = E

D + E = C1 + C2
DE = C3
=> D e E sao efetivamente calculaveis.

Por lado, de :
M^A + N^A = C1 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN
M^B + N^B = C1 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN
Vem que C1*C2 = M^(A+B) + (M^A)(N^B) + (M^B)(N^A) + N^(A+B) =>
(M^A)(N^B) + (M^B)(N^A) = C1*C2 - [ M^(A+B) + N^(A+B) ] = C4 =
efetivamente calculavel e :

(M^A)(N^B)*(M^B)(N^A) = (MN)^(A+B) = C5 =efetivamente c alculavel

Fazendo (M^A)*(N^B) = F e (M^B)*(N^A) = G segue que :
F + G = C4
FG = C5
=> F e G sao efetivamente calculaveis.

Sao portanto efetivamente calculaveis D, E, F e G. Daqui :

1/(M^A)  +  1/(N^B) = [N^B +M^A]/[(M^A)(N^B)]=D/F = efetivamente calculavel
1/(M^B)  +  1/(N^A) = [N^A +M^B]/[(M^B)(N^A)]=E/G = efetivamente calculavel

Evidentemente, e necessario algum cuidado adicional num passo ou outro. Mas 
isso e de
somenos interesse e deixamos ao Dr Pangloss, para que ele mostre sua 
sapiencia e cuide
dos miiiiiinimos detalhes ...

E parabens ao colega que colocou o enunciado errado.

Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
5,2310,130504

>From: Rogério Moraes de Carvalho <rogeriom@gmx.net>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: RE: [obm-l] cococolegio navalvalval
>Date: Thu, 13 May 2004 16:14:14 -0300

>Quanto aos comentários do Paulo Santa Rita, eu não consegui entender
>a intenção da questão proposta e nem a aplicação para calcular 1/M^3 + 
>1/N^2
>no problema do Colégio Naval. Inclusive, tem alguns passos que eu não
>consegui entender, como em:
>(M+N)^3 = M^3 + 2(M^2)N + 3M(N^2) +N^2 = M^3 +3MN(M+N) + N^3
>A expressão intermediária não deveria ser M^3 + 3(M^2)N + 3M(N^2) + N^3 ao
>invés de M^3 + 2(M^2)N + 3M(N^2) +N^2? De qualquer modo, o resultado final
>ficou correto.
>
>	Eu não consegui entender a generalização do problema e nem como esta
>generalização pode ser aplicada para resolver este problema específico.
>
>Abraços,
>
>Rogério Moraes de Carvalho
>rogeriom@gmx.net

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