Re: [obm-l] Re: [obm-l] DUVIDA - funçao

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 27.04.04 15:25, Cláudio (Prática) at claudio@praticacorretora.com.br
wrote:

> 
> ----- Original Message -----
> From: "Ricardo Bittencourt" <ricbit@700km.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Tuesday, April 27, 2004 1:52 PM
> Subject: Re: [obm-l] DUVIDA - funçao
> 
> 
>> João Silva wrote:
>> 
>>> - Uma função f : A --> B (em que A é o conjunto dos numeros reais
>>> positivos não - nulos e B o conjunto dos reais) é estritamente crescente
>>> e para "x" e "y" pertencentes a A temos: f (x.y) = f(x) + f(y) . Sabe-se
>>> ainda que f(1) = 0 e f(2) = 1. Demonstrar que f(3) é irracional.
>> 
>> f(sqrt(2)*sqrt(2))=2*f(sqrt(2))=f(2)=1
>> logo f(sqrt(2))=1/2
>> 
>> Daí fica claro que uma função f é o log na base 2 né? Pois:
>> 
>> log2 (1) = 0
>> log2 (sqrt(2))=1/2
>> log2 (2) = 1
>> 
>> log2 (ab) = log2 (a) + log2 (b)
>> 
>> Então resta provar que log2(3) é irracional.
>> Pra isso acontecer, 3=2^(p/q) com p,q inteiros.
>> 
>> Mas então 3^q=2^p, e com p,q inteiros isso é impossível.
>> 
>> Hum.. resta provar que log2 é a única função f que
>> satisfaz o enunciado, isso eu não sei fazer.
>> 
> Oi, Ricardo:
> 
> Acho que o fato de f ser monótona crescente e satisfazer a f(xy) = f(x) +
> f(y) implica que f é contínua.
> Além disso, da mesma forma que na minha mensagem anterior, podemos provar
> que se r é um racional qualquer, então:
> f(2^r) = r*f(2) = r.
> Finalmente, o conjunto dos números da forma 2^r (r racional) é denso em
> (0,+infinito).
> (dados a e b com 0 < a < b, tome n = menor inteiro positivo tal que 2^(1/n)
> < b/a e, uma vez fixado n, tome m = menor inteiro tal que 2^(m/n) > a.
> Então, 2^((m-1)/n) < a < 2^(m/n) = 2^((m-1)/n)*2^(1/n) < a*2^(1/n) < a*(b/a)
> = b ).
> 
> Se g:(0,+infinito) -> R é tal que:
> g é estritamente crescente;
> g(xy) = g(x) + g(y) para quaisquer x, y em (0,+infinito);
> g(1) = 0 e g(2) = 1,
> então, da mesma forma, g é contínua e g(2^r) = r para todo racional r.
> 
> Assim, a função F:(0,+infinito) -> R dada por:
> F(x) = f(x) - g(x)
> é uma função contínua que se anula num subconjunto denso em (0,+infinito).
> Logo, F é identicamente nula e, portanto, f é única.
> 
> 
Consegui provar que f eh continua, o que completa a demonstracao de que f eh
unica (e, portanto, igual a funcao logaritmo de base 2).

A demonstracao baseia-se nos seguintes fatos:
f(4^(1/n)) = 2/n  e  f(1/4)^(1/n)) = -2/n
e
n >= 2  ==>  (1/4)^(1/n) <= 1 - 1/n  e  1 + 1/n < 4^(1/n)

Seja a um real positivo.

Dado eps > 0, tomemos um inteiro positivo n >= 2 tal que:
1/n < eps/2 <==> 2/n < eps.

Entao:
|x - a| < a/n ==>

|x/a - 1| < 1/n ==>

1 - 1/n < x/a < 1 + 1/n ==>

(1/4)^(1/n) < x/a < 4^(1/n) ==>

f((1/4)^(1/n)) < f(x/a) < f(4^(1/n)) ==>

-2/n < f(x/a) < 2/n

|f(x/a)| < 2/n ==>

|f(x) - f(a)| < 2/n < eps


[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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