[obm-l] Re: [obm-l] DUVIDA - funçao

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "Ricardo Bittencourt" <ricbit@700km.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, April 27, 2004 1:52 PM
Subject: Re: [obm-l] DUVIDA - funçao


> João Silva wrote:
>
> > - Uma função f : A --> B (em que A é o conjunto dos numeros reais
> > positivos não - nulos e B o conjunto dos reais) é estritamente crescente
> > e para "x" e "y" pertencentes a A temos: f (x.y) = f(x) + f(y) . Sabe-se
> > ainda que f(1) = 0 e f(2) = 1. Demonstrar que f(3) é irracional.
>
> f(sqrt(2)*sqrt(2))=2*f(sqrt(2))=f(2)=1
> logo f(sqrt(2))=1/2
>
> Daí fica claro que uma função f é o log na base 2 né? Pois:
>
> log2 (1) = 0
> log2 (sqrt(2))=1/2
> log2 (2) = 1
>
> log2 (ab) = log2 (a) + log2 (b)
>
> Então resta provar que log2(3) é irracional.
> Pra isso acontecer, 3=2^(p/q) com p,q inteiros.
>
> Mas então 3^q=2^p, e com p,q inteiros isso é impossível.
>
> Hum.. resta provar que log2 é a única função f que
> satisfaz o enunciado, isso eu não sei fazer.
>
Oi, Ricardo:

Acho que o fato de f ser monótona crescente e satisfazer a f(xy) = f(x) +
f(y) implica que f é contínua.
Além disso, da mesma forma que na minha mensagem anterior, podemos provar
que se r é um racional qualquer, então:
f(2^r) = r*f(2) = r.
Finalmente, o conjunto dos números da forma 2^r (r racional) é denso em
(0,+infinito).
(dados a e b com 0 < a < b, tome n = menor inteiro positivo tal que 2^(1/n)
< b/a e, uma vez fixado n, tome m = menor inteiro tal que 2^(m/n) > a.
Então, 2^((m-1)/n) < a < 2^(m/n) = 2^((m-1)/n)*2^(1/n) < a*2^(1/n) < a*(b/a)
= b ).

Se g:(0,+infinito) -> R é tal que:
g é estritamente crescente;
g(xy) = g(x) + g(y) para quaisquer x, y em (0,+infinito);
g(1) = 0 e g(2) = 1,
então, da mesma forma, g é contínua e g(2^r) = r para todo racional r.

Assim, a função F:(0,+infinito) -> R dada por:
F(x) = f(x) - g(x)
é uma função contínua que se anula num subconjunto denso em (0,+infinito).
Logo, F é identicamente nula e, portanto, f é única.

[]s,
Claudio.


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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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