Re: [obm-l] DUVIDA - funçao

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

--- Ricardo Bittencourt <ricbit@700km.com.br> wrote:
> João Silva wrote:
> 
> > - Uma função f : A --> B (em que A é o conjunto
> dos numeros reais 
> > positivos não - nulos e B o conjunto dos reais) é
> estritamente crescente 
> > e para "x" e "y" pertencentes a A temos: f (x.y) =
> f(x) + f(y) . Sabe-se 
> > ainda que f(1) = 0 e f(2) = 1. Demonstrar que f(3)
> é irracional.
O fato de que f(1)=0 eh uma consequencia direta da
equacao funcional aa qual f satisfaz. Naum poderia ser
de outra forma. Se fizermos x=y =1, concluimos que
f(1*1) = f(1) = f(1) + f(1), => f(1) = 0. 

> 
> 	f(sqrt(2)*sqrt(2))=2*f(sqrt(2))=f(2)=1
> 	logo f(sqrt(2))=1/2
> 
> 	Daí fica claro que uma função f é o log na base 2
> né?
A rigor, para chegarmos a estah conclusao acho que
precisariamos assumir mais sobre f. Acho que soh a
equacao funcional dada naum basta. Se admitirmos
diferenciabilidade em um unico elemento de A, aih sim,
podemos afirmar que f e a funcao logaritmo na base 2. 

Assumindo-se que f eo logaritmo na base 2, a
irracionalidade de f(3) decorre da conclusao mais
geral de que, se m>1 e n>1 sao inteiros e log(n) m
(log de m na base n) naum for inteiro, entao log(n) m
eh irracional. Esta demonstracao jah foi apresentada
aqui na lista, acho que a mensagem tinha titulo
"Logaritmo Irracional" Acho que foi por volta de
setembro do ano passado.

Artur 


	
		
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