Re: [obm-l] Re: [obm-l] DUVIDA - funçao

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

> > 
> Consegui provar que f eh continua, o que completa a
> demonstracao de que f eh
> unica (e, portanto, igual a funcao logaritmo de base
> 2).
> 

Uma outra forma de provarmos segue um caminho um pouco
diferente. Vamos generalizar um pouco mais e
considerar f satisfazendo a  f(x*y) = f(x) + f(y), com
f(a) =1 para algum a>1 (se a<1, a analise eh similar)
e f crescente. Jah vimos que estas condicoes implicam
que f(r) = log(r) para todo racional r, entendendo-se
aqui log como na base a.
A funcao g(x) = log(x) , x>0, real, eh uniformemente
continua em [k, inf) para todo k>0 (pois sua derivada
g'(x) = 1/(x*ln(a)) eh limitada em [k, inf) - g eh
inclusive Lipschitz neste conjunto). Logo, a restricao
de f aos racionais eh uniformemente continua nos
racionais em [k, inf) para k>0 . Para todo eps>0
existe, portanto, um d>0 tal que, se r1 e r2 sao
racionais tais que que k<=r1<r2 e r2-r1<d, entao f(r2)
- f(r1) <eps. Se x1 e x2 sao reais tais que k<=x1<x2 e
x2-x1<d/2, existem entao racionais r1 e r2 tais que
k<=r1<=x1<x2<r2 e r2-r1<d. Como f, por hipotese, eh
monotonicamente crescente, e f(r2) - f(r1) < eps,
concluimos que f(x2) - f(x1) < eps, do que deduzimos
que f eh uniform. continua em todo o [k, inf) para
todo k>0. Dado que todo x>0 esta em [k, inf) para
0<k<x, concluimos que f eh continua em (0, inf). As
demias conclusoes seguem-se conforme jah comentado
pelo Claudio.

A hipotese de f eh monotonicamente crescente eh
essencial aqui. Sem fazer esta hipotese, podemos
chegar aa conclusao de que f eh a funcao log na base a
se mantivermos a equacao funcional f(x*y) = f(x) +
f(y) e f(a) =1 e admitirmos que f eh diferenciavel em
pelo menos um x0>0.  
"Prova" sucinta: diferenciabilidade em x0 => 
diferenciabilidade em 1 => diferenciabilidade => (0,
inf) => f'(x) = 1/(x*ln(a)) => f(x) = log(x)_a (base
a). 
Artur  


	
		
__________________________________
Do you Yahoo!?
Win a $20,000 Career Makeover at Yahoo! HotJobs  
http://hotjobs.sweepstakes.yahoo.com/careermakeover 
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================