Re: [obm-l] Re: [obm-l] DUVIDA - funçao

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 28.04.04 18:34, Artur Costa Steiner at artur_steiner@yahoo.com wrote:

>>> 
>> Consegui provar que f eh continua, o que completa a
>> demonstracao de que f eh
>> unica (e, portanto, igual a funcao logaritmo de base
>> 2).
>> 
> 
> Uma outra forma de provarmos segue um caminho um pouco
> diferente. Vamos generalizar um pouco mais e
> considerar f satisfazendo a  f(x*y) = f(x) + f(y), com
> f(a) =1 para algum a>1 (se a<1, a analise eh similar)
> e f crescente. Jah vimos que estas condicoes implicam
> que f(r) = log(r) para todo racional r, entendendo-se
> aqui log como na base a.

Oi, Artur:
Como voce prova que a unica restricao de f aos racionais positivos eh a
funcao logaritmo de base a?
Eu consigo ver que, para r racional, f(a^r) = r e que log satisfaz essa
equacao, mas por que log eh a unica funcao que o faz?

[]s,
Claudio.

> A funcao g(x) = log(x) , x>0, real, eh uniformemente
> continua em [k, inf) para todo k>0 (pois sua derivada
> g'(x) = 1/(x*ln(a)) eh limitada em [k, inf) - g eh
> inclusive Lipschitz neste conjunto). Logo, a restricao
> de f aos racionais eh uniformemente continua nos
> racionais em [k, inf) para k>0 . Para todo eps>0
> existe, portanto, um d>0 tal que, se r1 e r2 sao
> racionais tais que que k<=r1<r2 e r2-r1<d, entao f(r2)
> - f(r1) <eps. Se x1 e x2 sao reais tais que k<=x1<x2 e
> x2-x1<d/2, existem entao racionais r1 e r2 tais que
> k<=r1<=x1<x2<r2 e r2-r1<d. Como f, por hipotese, eh
> monotonicamente crescente, e f(r2) - f(r1) < eps,
> concluimos que f(x2) - f(x1) < eps, do que deduzimos
> que f eh uniform. continua em todo o [k, inf) para
> todo k>0. Dado que todo x>0 esta em [k, inf) para
> 0<k<x, concluimos que f eh continua em (0, inf). As
> demias conclusoes seguem-se conforme jah comentado
> pelo Claudio.
> 
> A hipotese de f eh monotonicamente crescente eh
> essencial aqui. Sem fazer esta hipotese, podemos
> chegar aa conclusao de que f eh a funcao log na base a
> se mantivermos a equacao funcional f(x*y) = f(x) +
> f(y) e f(a) =1 e admitirmos que f eh diferenciavel em
> pelo menos um x0>0.
> "Prova" sucinta: diferenciabilidade em x0 =>
> diferenciabilidade em 1 => diferenciabilidade => (0,
> inf) => f'(x) = 1/(x*ln(a)) => f(x) = log(x)_a (base
> a). 
> Artur  
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