Re: [obm-l] Convergencia pontual

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

--- Tertuliano Carneiro <tertuca@yahoo.com.br> wrote:
> Na realidade, para resolver o problema basta mostrar
> q o limite pontual de uma sequencia de funcoes
> continuas eh continua em pelo menos um ponto. Se
> alguem conseguir isto já ficarei satisfeito.

?? Acho que não. Hah um teorema que diz que se uma
sequencia de funcoes continuas em um espaco metrico
converge puntualmente para uma funcao f em outro
espaco metrico, entao o cojunto das descontinuidades
de f eh de primeira categoria no sentido de Baire,
isto eh, pode ser dado por uma uniao numeravel de
conjuntos cujos fechos tem interior vazio. Assim ,
provar que f eh continua em um ponto naum me parece
garantir que seja continua em todo seu dominio.
 
> Desculpe minha ignorância, mas o q diz o teorema de
> Baire? 

Naum hah porque pedir desculpas.  O teorema de Baire
diz que todo espaco metrico completo eh um espaco de
Baire. Um espaco metrico X eh um espaco de Baire se
nenhum subconjunto aberto e nao vazio de X for de
primeira categoria, na (infeliz) terminologia de
Baire. Conjuntos de primeira categoria sao algumas
vezes chamados de conjuntos magros (creio que porque
em Ingles tais conjuntos sao denominados de meager
sets). As conclusoes de Baire sao um pouco dificeis de
colocar na massa do sangue, mas sao bem interessantes.

Voltando aaquele problema que se queria resolver, o da
funcao I, caracteristica dos irracionais. Esta funcao
eh descontinua em todo o R (assim como a funcao de
Dirichilet, que eh a funcao caracteristica dos
racionais, eh descontinua em todo o R). O conjunto das
descontinuidades de I eh, portanto, o proprio R que,
por ser completo, eh um espaco de Baire.  R eh aberto
e, desta forma, naum eh de primeira categoria. Logo, R
naum eh o conjunto das descontinuidades do limite de
nenhuma sequencia de funcoes continuas em R.
Concluimos assim que I naum eh o limite de nenhuma
destas sequencias.

Artur


	
		
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