Re: [obm-l] Convergencia pontual

[Tertuliano Carneiro <tertuca@xxxxxxxxxxxx>]

Na realidade, para resolver o problema basta mostrar q o limite pontual de uma sequencia de funcoes continuas eh continua em pelo menos um ponto. Se alguem conseguir isto já ficarei satisfeito.

Desculpe minha ignorância, mas o q diz o teorema de Bair?   

Artur Costa Steiner <artur@opendf.com.br> wrote:

Algo que se pode afirmar, com base em uma conhecida conclusao, eh que o
conjunto D das descontinuidades de f em [a, b] e de primeira categoria, no
sentido de Baire. Isto eh, D pode ser representado como uma uniao numeravel
de conjuntos cujos fechos tem interior vazio. Mas isto naum significa que D
tenha medida nula, de modo que naum me parece ser possivel afirmar que f
seja continua em quase todo [a,b].

Mas com relacao ao problema que se deseja resover, a funcao cacacteristica
dos irracionais (com base na definicao que conheco) eh dada por I(x) = 1, se
x for irracional, eh I(x) =0, se x for racional. Esta funcao eh descontinua
em todo R, de modo que D=R. E como R naum eh um conjunto de primeira
categoria no sentido de Baire (consequencia do teorema de Baire, pois R eh
completo), segue-se que I nao eh o limite de uma sequencia de funcoes
continuas em R.

Artur


--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br"
Assunto: [obm-l] Convergencia pontual
Data: 17/04/04 12:29

Olá para todos!!

Um professor me propos a seguinte questao:

Considere uma sequencia f_n:[0,1] em R, de funcoes
continuas convergindo pontualmente para f:[0,1] em R.
Mostrar que f é continua em muitos pontos do intervalo
[0,1].
(na realidade, desconfio q f seja continua em um
conjunto denso no intervalo [0,1]).

Grato por qualquer soluçao e/ou comentario.


Obs.: o objetivo é mostrar q nao existe uma sequencia
de funcoes continuas convergindo pontualmente para a
funcao caracteristica dos irracionais, que é um
exercicio do Elon. Como essa funcao caracteristica é
descontinua nos irracionais, mostrar o que foi
proposto acima resolve o problema.

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