Re: [obm-l] Problema com dados (Probabilidade/Estatistica)

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Apr 14, 2004 at 02:51:38PM -0300, niski wrote:
> Olá pessoal. Me deparei com o seguinte problema:
> 
> "Um dado é lançado continuamente até a soma total dos resultados exceder 
> 300. Qual é a probabilidade de que pelo menos 80 "jogadas" foram 
> necessarias?"

Reformule assim: jogue um dado 79 nove vezes e some os totais para obter N.
Qual a probabilidade de que N seja menor ou igual a 300?

Deve ser claro que os dois problemas são equivalentes: se N > 300 então
79 ou menos lançamentos bastam; se N <= 300 então pelo menos 80 lançamentos
foram necessários.

O problema como eu reformulei é bem clássico e tem uma resposta exata
um pouco complicada usando binomiais. Você também pode expandir
P(x) = ((x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)/6)^79 = (x(x^6-1)/(6(x-1)))^79
e somar todos os coeficientes até x^300: o maple faz isso bem rápido
e dá

         10835396965848857850943684826836822700195664221569494129355
   pp := -----------------------------------------------------------
         11489834763761384679233055381265290523938128408024803442688

ou aproximadamente .9430420183.

Se você não puder ou não desejar usar um computador e um programa desses
mas aceitar usar uma calculadora e uma resposta aproximada, você pode ver
que o valor médio de N é 79*7/2 = 553/2 = 276.5 e que a variância é 
79*35/12 = 2765/12 = 230.4166667 donde o desvio padrão é aproximadamente
15.17948177. Podemos tomar por corte 300.5 donde estamos interessados
em estimar a probabilidade de não ficarmos mais do que
(300.5 - 276.5)/15.17948177 ~= 1.581081645 desvios padrão acima da média.
Calculando 2*erf(1.581081645)-1 obtemos .949294768, um erro relativamente
pequeno. Se ao invés de 300.5 tomássemos 300, a resposta seria
.942865028, por algum motivo ainda melhor.

Calculando a probabilidade exata para 299 e 301 temos .9350831505 e
.9502146325, respectivamente.

[]s, N.
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================