Re: [obm-l] Numeros construtiveis

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Oi Claudio,

Não vale a recíproca.

Isso está mostrado em


Abstract Algebra : A Geometric Approach
Theodore Shifrin

Hardcover, August 1995

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Usando apenas conceitos mais simples
de extensoes de corpos você encontra
resultados que o guiam para essa
conclusão em

Borofsky, S., Elementary Theory of Equations,
The Macmillan Company, 1961.

Concluí o seguinte (no que segue estou
lidando com números construtíveis - NC):

As raízes de uma quártica serão NC se e
somente se a cúbica resolvente possuir uma
raiz racional.

Podemos mostrar que a quártica p(x)=
100x^4-780x^3+371x^2+6860x-9604
não possui NC.

Por outro lado, considere o p(x)=
(4a^2h^2 + t^4 - 4a^2t^2)x^4 +
(8a^3t^2 - 4at^4)x^3 +
(6a^2t^4 - 4a^4t^2)x^2 - 4a^3t^4 x + a^4t^4 .

Gostaria de saber se alguém pode encontrar
a,h,t (NC) de modo que as raízes de p(x) NÃO
sejam NC .

Acho que se |h| <= |a| as raízes são SEMPRE
NC. Para |h| > |a| eu não sei.

[]'s
Luís


-----Mensagem Original-----
De: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
Para: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: domingo, 28 de março de 2004 16:05
Assunto: [obm-l] Numeros construtiveis


> Oi, pessoal:
>
> Eu sei que se um numero real eh construtivel com regua e compasso (a
partir
> de um segmento unitario dado), entao ele eh raiz de um polinomio
irredutivel
> com coeficientes racionais e grau igual a uma potencia de 2.
>
> Minha pergunta: Vale a reciproca? Ou seja, qualquer numero real que seja
> raiz de um polinomio irredutivel de coeficientes racionais e grau igual a
> alguma potencia de 2 eh construtivel?
>
> Em caso afirmativo, existe alguma demonstracao disso sem usar teoria de
> Galois (que eu ainda nao conheco) mas apenas conceitos mais simples de
> extensoes de corpos (que eh tudo o que eu sei no momento)? (ou seja,
apenas
> material daquele capitulo dos livros de algebra que introduz o conceito de
> extensoes de corpos e geralmente precede o capitulo sobre teoria de
Galois).
>
> Em caso negativo, eu gostaria de ver um contra-exemplo.
>
> Agradeco antecipadamente qualquer ajuda.
>
> []s,
> Claudio.
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>


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