Re: [obm-l] Numeros construtiveis

Tem na pagina do Milne algo sobre isso...

Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:

on 29.03.04 13:47, Nicolau C. Saldanha at nicolau@mat.puc-rio.br wrote:

> On Sun, Mar 28, 2004 at 04:05:17PM -0300, Claudio Buffara wrote:
>> Eu sei que se um numero real eh construtivel com regua e compasso (a partir
>> de um segmento unitario dado), entao ele eh raiz de um polinomio irredutivel
>> com coeficientes racionais e grau igual a uma potencia de 2.
>>
>> Minha pergunta: Vale a reciproca? Ou seja, qualquer numero real que seja
>> raiz de um polinomio irredutivel de coeficientes racionais e grau igual a
>> alguma potencia de 2 eh construtivel?
>
> NÃO.
>
> Seja p = x^4 + 2*x^2 + 2*x - 2; este polinômio é irredutível
> e tem duas raízes reais aproximadamente iguais a -1.139037348
> e .5905066741. Pedindo ao maple para resolver a equação p(x) = 0 temos:
>
>> solve(p,x);
> bytes used=3000824, alloc=1441528, time=0.35
> / 1/2 \1/2
> 1/2 1/2 |24 %4 + 3 %3 - 60 %1 + 36 %2|
> 1/6 3 %1 + 1/6 I |-------------------------------| ,
> | 1/2 1/3 1/2 |
> \ (206 + 6 1401 ) %1 /
>
> / 1/2 \1/2
> 1/2 1/2 |24 %4 + 3 %3 - 60 %1 + 36 %2|
> 1/6 3 %1 - 1/6 I |-------------------------------| ,
> | 1/2 1/3 1/2 |
> \ (206 + 6 1401 ) %1 /
>
> / 1/2 \1/2
> 1/2 1/2 |-24 %4 - 3 %3 + 60 %1 + 36 %2|
> - 1/6 3 %1 + 1/6 |--------------------------------| ,
> | 1/2 1/3 1/2 |
> \ (206 + 6 1401 ) %1 /
>
> / 1/2 \1/2
> 1/2 1/2 |-24 %4 - 3 %3 + 60 %1 + 36 %2|
> - 1/6 3 %1 - 1/6 |--------------------------------|
> | 1/2 1/3 1/2 |
> \ (206 + 6 1401 ) %1 /
>
> 1/2 1/3 1/2 2/3
> -4 (206 + 6 1401 ) + (206 + 6 1401 ) - 20
> %1 := ---------------------------------------------------
> 1/2 1/3
> (206 + 6 1401 )
>
> 1/2 1/2 1/3
> %2 := 3 (206 + 6 1401 )
>
> 1/2 1/2 2/3
> %3 := %1 (206 + 6 1401 )
>
> 1/2 1/3 1/2
> %4 := (206 + 6 1401 ) %1
>
> Observe que isto está cheio de raízes cúbicas.
>
Eh verdade! E a mensagem do Luis Lopes me lembrou do fato de que uma equacao
do 4o. grau pode ser resolvida por meio de uma equacao cubica auxiliar, cuja
solucao envolve, em geral, raizes cubicas as quais, em geral, nao sao
construtiveis.

> O grupo de Galois de p é S4, com 24 elementos. Assim o corpo Q[x1,x2,x3,x4],
> onde x1, x2, x3, x4 são as raízes de p, tem dimensão 24 como Q-espaço
> vetorial.

Esse tambem eh um exemplo de que o limitante de n! para o grau do corpo de
decomposicao de um polinomio irredutivel de grau n sobre o corpo dos
coeficientes pode ser atingido. Eu tambem estava atras de um exemplo desses.

> A demonstração que você viu prova que qualquer número construtível com régua
> e compasso pertence a um corpo *normal* cuja dimensão é uma potência de 2.
>
A ausencia da reciproca nos livros que eu consultei deveria ter me dado uma
dica de que ela nao eh verdade em geral. Se fosse, eh certo dque constaria
como um teorema.

> A condição se-e-somente-se correta aliás é esta.
> Dado um número algébrico x, seja K o corpo gerado por Q, x
> e todos os conjugados de x. Seja f(n) a dimensão de K sobre Q.
> Então x é construtível se e somente f(n) é potência de 2.
>
Legal! Vou tentar provar isso.

Muito obrigado.

[]s,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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