Re: [obm-l] Numeros construtiveis

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 29.03.04 14:04, Luis Lopes at llopes@ensrbr.com.br wrote:

> 
> Concluí o seguinte (no que segue estou
> lidando com números construtíveis - NC):
> 
> As raízes de uma quártica serão NC se e
> somente se a cúbica resolvente possuir uma
> raiz racional.
>
Oi, Luis:

Esse seu argumento da cubica resolvente foi o que me convenceu da
nao-validade em geral do resultado que eu mencionei.

E o resultado acima faz sentido pois se a cubica resolvente tem alguma raiz
racional, entao as outras serao raizes de uma equacao quadratica com
coeficientes racionais. Assim, se forem reais e positivas, entao serao
construtiveis. Logo, as raizes da quartica original tambem serao
construtiveis, por serem da forma: raiz(a) + raiz(b) + raiz(c), onde a, b, c
sao as raizes da cubica resolvente.

Nos demais casos e na reciproca eu preciso pensar com mais calma.

De qualquer forma, muito obrigado pela resposta.

> Podemos mostrar que a quártica p(x)=
> 100x^4-780x^3+371x^2+6860x-9604
> não possui NC.
> 
> Por outro lado, considere o p(x)=
> (4a^2h^2 + t^4 - 4a^2t^2)x^4 +
> (8a^3t^2 - 4at^4)x^3 +
> (6a^2t^4 - 4a^4t^2)x^2 - 4a^3t^4 x + a^4t^4 .
> 
> Gostaria de saber se alguém pode encontrar
> a,h,t (NC) de modo que as raízes de p(x) NÃO
> sejam NC .
>
Uma ideia eh eliminar o termo em x^3 da equacao acima e ver se a cubica
resolvente tem alguma raiz racional, mas as contas me parecem assustadoras!

[]s,
Claudio.

> Acho que se |h| <= |a| as raízes são SEMPRE
> NC. Para |h| > |a| eu não sei.
> 
> []'s
> Luís
> 
> 
> -----Mensagem Original-----
> De: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> Para: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Enviada em: domingo, 28 de março de 2004 16:05
> Assunto: [obm-l] Numeros construtiveis
> 
> 
>> Oi, pessoal:
>> 
>> Eu sei que se um numero real eh construtivel com regua e compasso (a
> partir
>> de um segmento unitario dado), entao ele eh raiz de um polinomio
> irredutivel
>> com coeficientes racionais e grau igual a uma potencia de 2.
>> 
>> Minha pergunta: Vale a reciproca? Ou seja, qualquer numero real que seja
>> raiz de um polinomio irredutivel de coeficientes racionais e grau igual a
>> alguma potencia de 2 eh construtivel?
>> 
>> Em caso afirmativo, existe alguma demonstracao disso sem usar teoria de
>> Galois (que eu ainda nao conheco) mas apenas conceitos mais simples de
>> extensoes de corpos (que eh tudo o que eu sei no momento)? (ou seja,
> apenas
>> material daquele capitulo dos livros de algebra que introduz o conceito de
>> extensoes de corpos e geralmente precede o capitulo sobre teoria de
> Galois).
>> 
>> Em caso negativo, eu gostaria de ver um contra-exemplo.
>> 
>> Agradeco antecipadamente qualquer ajuda.
>> 
>> []s,
>> Claudio.
>> 


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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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