[obm-l] Determinante Anti-Simétrico

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, pessoal:

O Max mandou ontem pra lista o problema de se provar que o determinante de
uma matriz anti-simétrica com coeficientes inteiros é sempre um quadrado
perfeito.

Eu tenho quase certeza de que há uma demonstração combinatória disso (por
favor me ajude, Nicolau!) mas como não consegui imaginar nenhuma, aqui vai
minha tentativa - incompleta - por álgebra, mesmo...

Seja A anti-simétrica.
Então, por definição, A^t = -A  (A^t = transposta de A).
Suponhamos também que A tenha ordem n.

Inicialmente, temos que:
det(A) = det(A^t) = det(-A) = (-1)^n*det(A).

Assim, se n é ímpar, concluímos que det(A) = 0, que é trivialmente um
quadrado perfeito.

Suponhamos, agora, que n seja par.

Seja x um autovetor de A, associado ao autovalor k.
Então, tomando o produto interno de x e Ax, teremos:
<x,Ax> = <(A^t)x,x> = <-Ax,x> ==>
<x,kx> = <-kx,x> ==>
conjugado(k)<x,x> = -k<x,x>.

Como x eh autovetor, x <> 0 e, portanto, <x,x> > 0.
Assim, teremos:
-k = conjugado(k) ==>
k = i*a, onde a é real.

Além disso, como o polinômio característico de A é mônico e tem coeficientes
inteiros, podemos concluir que:
-i*a também é raiz 
e
i*a e -i*a são inteiros algébricos  ==>

Isso quer dizer que o polinômio característico de A pode ser fatorado assim:
p(x) = (x^2 + a^2)*(x^2 + b^2)*...*(x^2 + g^2),
onde i*a, i*b, ..., i*g são inteiros algébricos, não necessariamente
distintos dois a dois.

Pelas relações de Girard, como os coeficientes de p(x) são todos inteiros,
podemos também concluir os valores de todos os polinômios simétricos em i*a,
-i*a, i*b, -i*b, ..., i*g, -i*g são inteiros e, mais ainda, os de ordem
impar sao iguais a zero.

Em particular:
det(A) = p(0) = a^2*b^2*....*g^2 = (a*b*...*g)^2 é inteiro e positivo (pois
a, b, ..., g são reais).

Isso quer dizer que |a*b*...*g| = raiz(m), onde m é um inteiro positivo.

Resta provar que m é quadrado perfeito, coisa que, infelizmente, eu nao
consegui...

Nao preciso nem dizer que qualquer ajuda serah bem vinda.


[]s,
Claudio.





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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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