[obm-l] Re: [obm-l] Determinante Anti-Simétrico

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Oi Claudio,

Achei esse problema muito interessante
(se n=2k) e coloquei-o no Manual de
Indução.

A prova lá só não está completa pois uso
um teorema devido a Jacobi que não
está demonstrado. Mas o tal teorema é
um resultado básico da teoria de det.

No livro dou um exemplo para n=6.
Para n=2,4 a expressão do det. pode
ser obtida explicitamente (ver o Manual).

[]'s
Luis



-----Mensagem Original-----
De: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
Para: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: segunda-feira, 22 de março de 2004 21:17
Assunto: [obm-l] Determinante Anti-Simétrico


> Oi, pessoal:
>
> O Max mandou ontem pra lista o problema de se provar que o determinante de
> uma matriz anti-simétrica com coeficientes inteiros é sempre um quadrado
> perfeito.
>
> Eu tenho quase certeza de que há uma demonstração combinatória disso (por
> favor me ajude, Nicolau!) mas como não consegui imaginar nenhuma, aqui vai
> minha tentativa - incompleta - por álgebra, mesmo...
>
> Seja A anti-simétrica.
> Então, por definição, A^t = -A  (A^t = transposta de A).
> Suponhamos também que A tenha ordem n.
>
> Inicialmente, temos que:
> det(A) = det(A^t) = det(-A) = (-1)^n*det(A).
>
> Assim, se n é ímpar, concluímos que det(A) = 0, que é trivialmente um
> quadrado perfeito.
>
> Suponhamos, agora, que n seja par.
>
[corte]

> Pelas relações de Girard, como os coeficientes de p(x) são todos inteiros,
> podemos também concluir os valores de todos os polinômios simétricos em
i*a,
> -i*a, i*b, -i*b, ..., i*g, -i*g são inteiros e, mais ainda, os de ordem
> impar sao iguais a zero.
>
> Em particular:
> det(A) = p(0) = a^2*b^2*....*g^2 = (a*b*...*g)^2 é inteiro e positivo
(pois
> a, b, ..., g são reais).
>
> Isso quer dizer que |a*b*...*g| = raiz(m), onde m é um inteiro positivo.
>
> Resta provar que m é quadrado perfeito, coisa que, infelizmente, eu nao
> consegui...
>
> Nao preciso nem dizer que qualquer ajuda serah bem vinda.
>
>
> []s,
> Claudio.
>


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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