Re: [obm-l] Números complexos como matriz

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Alias, dentro do espirito dessa lista, e pra mostrar a utilidade e o poder
desse conceito de isomorfismo, tente resolver este problema que caiu na OMMS
em 1999:

Seja M o conjunto de todas as matrizes da forma:
a  -b
b   a
onde a e b sao numeros reais.

Determine todas as matrizes A pertencentes a M tais que A^1999 = 1999*I.

[]s,
Claudio.

on 17.03.04 21:51, Claudio Buffara at claudio.buffara@terra.com.br wrote:

> on 17.03.04 22:11, Rafael at cyberhelp@bol.com.br wrote:
> 
>> Pessoal,
>> 
>> Eu estava lendo que existe um estudo sobre números complexos, no qual um
>> número complexo z = a + bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da
>> forma: a_11 = a; a_12 = -b; a_21 = b; a_22 = a. Todas as propriedades dos
>> números complexos poderiam ser obtidas através de matrizes, resultando em
>> processos que transformam as características geométricas dos números
>> complexos em algo simples.
>> 
>> Até agora, notei que a raiz quadrada do determinante da matriz é o módulo de
>> z. Alguém conhece mais sobre o assunto? Como se chama esse estudo?
>> 
> Esse eh um exemplo de isomorfismo, no caso entre dois corpos (conjuntos
> munidos de duas operacoes sujeitas as mesmas regras que, digamos, o conjunto
> dos racionais com adicao e multiplicacao).
> 
> Um isomorfismo entre os corpos A e B eh uma bijecao f: A -> B tal que f(x+y) =
> f(x)+f(y) e f(xy) = f(x)f(y) para quaisquer x, y em A.
> 
> No seu caso, A = corpo dos complexos, munido das duas operacoes usuais -
> adicao e multiplicacao) e B = corpo das matrizes reais 2x2 da forma descrita
> acima, munido das operacoes de adicao e multiplicacao de matrizes.
> 
> Por exemplo, o polinomio caracteristico da matriz:
> a  -b
> b   a
> eh p(x) = x^2 - 2ax + a^2 + b^2.
> Uma das raizes eh justamente a + bi.
> 
> A existencia desse isomorfismo diz que, para todos os efeitos, pelo menos
> quanto ao comportamento algebrico dos seus elementos, A e B sao "o mesmo"
> corpo.
> 
> []s,
> Claudio.




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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