Re: [obm-l] Ordem nos Reais

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Mar 17, 2004 at 06:18:24PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
> E para divagar um pouco mais, eu repito aqui um ponto que sempre me
> intrigou. O fato de R nao ser numeravel depende da topologia e da ordem nele
> definidas? A demonstracao de Cantor baseia-se em expansoes decimais dos
> reais, mas para chegarmos em expansoes decimais acabamos utilizando ordem. A
> outra demonstracao que conheco, e que parece agardar mais aos topologistas,
> eh consequencia do fato de que intervalos fechados de limites finitos sao
> compactos e do fato de que todo elemento de R eh ponto de acumulacao do
> mesmo. Mas isto depende da topologoa definida em R. (subconjuntos perfeitos
> de espacos Euclidianos nao sao numeraveis - o que eh consequencia de uma
> conclusao mais geral - espacos de Hausdorff compactos que nao possuam pontos
> isolados nao sao numeraveis) 
> 
> Este eh outro ponto que sempre me intrigou, embora varios matematicos de
> inquetionavel conhecimento jah me tenham dito que ser ou nao ser numeravel
> eh uma das poucas caracteristicas intrinsecas de um conjunto e que maum
> depende de topologia; mas de qualquer forma depende de ordem, naum?

Não, o fato de um conjunto ser ou não enumerável realmente não depende
nem de ordem, nem de topologia, nem de qualquer estrutura algébrica
que o conjunto possa vir a ter. A demonstração disso é simples:
um conjunto infinito X é enumerável se existir uma bijeção entre X e N.
Ora, como não se exige nada desta bijeção (não se exige continuidade,
por exemplo) a existência ou não dela não tem nada a ver com estruturas
que o conjunto X tenha ou não tenha.

O que certamente confunde você é o fato de que para *demonstrarmos*
que R é não enumerável usarmos topologia, ordem ou expansões decimais.
Mas veja bem, precisamos saber *alguma* coisa sobre um conjunto para
termos uma chance de provarmos se ele é ou não enumerável. Se dissermos:
estou pensando em um conjunto X que não tem nenhuma topologia, nenhuma
ordem e nenhuma estrutura algébrica que eu conheça; diga-me agora, este
conjunto é enumerável? A resposta será obviamente: não sei, você não me
deu dados para responder a pergunta!

[]s, N.
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================