Re: [obm-l] Ordem nos Reais

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Naum deu tempo para analisar a fundo sua reflexao (estou no trabalho, e os
caras que me contrataram, incrivelmente, naum acham que devam me pagar para
fazer tais reflexoes - naum eh um absurdo?), mas me parece que ela eh
procedente. De fato, creio que a ordem definida em R (ou em qualquer corpo)
influi no fato de que ele seja ou naum completo.

Nos podemos tambem postular, baseados na metrica usual de R, que toda seq.
de Cauchy converge. Admitindo-se que a ordem definida em R seja tal que o
conjunto dos naturais - melhor dizendo, o dos inteiros positivos - seja bem
ordenado, podemos entao demonstrar que isto implica que todo conjunto
limitado superiormente (inferiormente) tem supremo (infimo). Naum estou bem
certo se isto funciona se trabalharmos com outra metrica, por exemplo, a
metrica discreta (estah me parecendo que sim).

E para divagar um pouco mais, eu repito aqui um ponto que sempre me
intrigou. O fato de R nao ser numeravel depende da topologia e da ordem nele
definidas? A demonstracao de Cantor baseia-se em expansoes decimais dos
reais, mas para chegarmos em expansoes decimais acabamos utilizando ordem. A
outra demonstracao que conheco, e que parece agardar mais aos topologistas,
eh consequencia do fato de que intervalos fechados de limites finitos sao
compactos e do fato de que todo elemento de R eh ponto de acumulacao do
mesmo. Mas isto depende da topologoa definida em R. (subconjuntos perfeitos
de espacos Euclidianos nao sao numeraveis - o que eh consequencia de uma
conclusao mais geral - espacos de Hausdorff compactos que nao possuam pontos
isolados nao sao numeraveis) 

Este eh outro ponto que sempre me intrigou, embora varios matematicos de
inquetionavel conhecimento jah me tenham dito que ser ou nao ser numeravel
eh uma das poucas caracteristicas intrinsecas de um conjunto e que maum
depende de topologia; mas de qualquer forma depende de ordem, naum?
Artur   

--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] Ordem nos Reais
Data: 17/03/04 16:45


Oi, pessoal:

Aqui vai uma divagação semi-filosófica. Assim, leia só se tiver tempo de
sobra.

Me parece que o fato de R ser um corpo ordenado completo depende da ordem
que é definida no corpo dos reais.

A ordem usual é aquela que destaca um subconjunto P de R e define que:
1) exatamente uma das três alternativas a seguir é verdadeira:
x pertence a P  OU  x = 0  OU  -x pertence a P;
2) Se x, y pertencem a P, então x + y e xy pertencem a P.
Nesse caso, P é chamado de conjunto dos reais positivos e a ordem (<) é
definida da seguinte forma:
para todos x, y em R, x < y <==> y - x pertence a P.

Dada esta ordem, postula-se que todo subconjunto de R que é limitado
superiormente tem um supremo e pronto.

****

Mas o que acontece se a ordem for diferente?

Por exemplo, suponha que particionamos os reais (R) em racionais (Q) e
irracionais (R - Q) e definimos uma ordem (<#) tal que:
1) se x, y pertencem a Q ou x, y pertencem a R - Q, então: 
x <# y <==> x < y (ordem usual)
2) se x pertence a R - Q e y pertence a Q, então x <# y.

Ou seja, cada irracional é menor do que cada racional e dois irracionais ou
dois racionais são comparados da forma usual.

Agora considere o conjunto A = { -raiz(2)/n | n é inteiro positivo}.
Cada elemento de A é irracional. Logo, A é limitado superiormente (por
exemplo, por cada racional).
Pergunta: Qual o supremo de A?

[]s,
Claudio.

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