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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Duvidas (Funções)
A resposta é 3.
15 = 13 e 12 = 16
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---------- Original Message -----------
From: "Rafael" <cyberhelp@bol.com.br>
To: "OBM-L" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sat, 6 Mar 2004 22:13:08 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Duvidas (Funções)
> Thor,
>
> Vamos supor, espero que sem perder a generalidade, como é costume
> dizer, que o hexágono regular de que estamos tratando está no plano
> de Argand-Gauss. Cada um dos vértices do hexágono é raiz de uma
> equação de sexto grau. Todas as raízes terão mesmo módulo (distância
> da origem até o ponto) e corresponderão à rotação de 360°/6 = 60° da
> raiz que a precede. Portanto, o número de elementos de V é o de
> pares formados escolhendo-se dois números complexos entre os seis.
> Veja que a ordem em que esses números são escolhidos importa, pois o
> par (P;Q) é diferente do par (Q;P). Dessa forma, teremos os arranjos
> dos seis números tomados dois a dois, 6!/4! = 30. Não é difícil
> contá-los, veja:
>
> Seja P1, P2, P3, P4, P5, P6 os vértices do hexágono regular, teremos:
>
> (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6),
> (P2,P1),(P2,P3),(P2;P4),(P2;P5),(P2;P6),
> (P3;P1),(P3;P2),(P3;P4),(P3;P5),(P3;P6),
> (P4;P1),(P4;P2),(P4;P3),(P4;P5),(P4;P6),
> (P5;P1),(P5;P2),(P5;P3),(P5;P4),(P5;P6),
> (P6;P1),(P6;P2),(P6;P3),(P6;P4),(P6,P5)
>
> Dessa forma, n(V) = 30.
>
> Porém, apesar de existirem 30 pares, não existem 30 distâncias diferentes.
> Observe que a distância, por exemplo, de P1 a P2 é a mesma de P2 a
> P1. Descontando esses pares que têm vértices permutados serão C(6,2)
> = 6!/(4!2!) = 15 distâncias até agora. Exemplificando:
>
> (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6),
> (P2,P3),(P2;P4),(P2;P5),(P2;P6),(P3;P4),
> (P3;P5),(P3;P6),(P4;P5),(P4;P6),(P5;P6),
>
> Voltando a pensar no plano de Argand-Gauss, cada par é um afixo no
> plano e há uma circunferência que contém os seis afixos. A distância
> entre dois afixos consecutivos (lado do hexágono) é a mesma, pois
> trata-se de um hexágono regular. Descontando-se esses afixos
> consecutivos, ficaremos com 11 distâncias distintas:
>
> (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6),(P2;P4),
> (P2;P5),(P2;P6),(P3;P5),(P3;P6),(P4;P6)
>
> Analogamente, (P1;P3) possuirá, por exemplo, a mesma distância de
> (P2;P4), pois cada par possui simetria em relação a outro se o outro
> possuir pontos simétricos em relação aos do primeiro. Note que tudo
> isso é válido principalmente por se tratar de um hexágono regular.
> Isso ocorre também, por exemplo, para (P1;P4) e (P2;P5). Eliminando
> os pares simétricos que, assim, possuem a mesma distância, vêm:
>
> (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6)
>
> E isso faz sentido. As distâncias distintas, num hexágono regular,
> são as obtidas tomando-se um dos pontos (no caso, P1) e cada um dos outros.
>
> Dessa forma, n[Im(f)] = 5.
>
> É um problema bem legal! ;-)
>
> Abraços,
>
> Rafael de A. Sampaio
>
> ----- Original Message -----
> From: Thor
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Sent: Saturday, March 06, 2004 4:00 PM
> Subject: [obm-l] Duvidas (Funções)
>
> Sejam V = {( P;Q) | P e Q são vértices distintos de um hexágono
> regular} e f uma função que associa a cada par (P;Q) de V a
> distância de P a Q. O número de elementos do conjunto imagem de f é?
>
> Agradeço desde de já.
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
------- End of Original Message -------
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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