[obm-l] Re: [obm-l] Duvidas (Funções)

["Rafael" <cyberhelp@xxxxxxxxxx>]

Thor,

Vamos supor, espero que sem perder a generalidade, como é costume dizer, que
o hexágono regular de que estamos tratando está no plano de Argand-Gauss.
Cada um dos vértices do hexágono é raiz de uma equação de sexto grau. Todas
as raízes terão mesmo módulo (distância da origem até o ponto) e
corresponderão à rotação de 360°/6 = 60° da raiz que a precede. Portanto, o
número de elementos de V é o de pares formados escolhendo-se dois números
complexos entre os seis. Veja que a ordem em que esses números são
escolhidos importa, pois o par (P;Q) é diferente do par (Q;P). Dessa forma,
teremos os arranjos dos seis números tomados dois a dois, 6!/4! = 30. Não é
difícil contá-los, veja:

Seja P1, P2, P3, P4, P5, P6 os vértices do hexágono regular, teremos:

(P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6),
(P2,P1),(P2,P3),(P2;P4),(P2;P5),(P2;P6),
(P3;P1),(P3;P2),(P3;P4),(P3;P5),(P3;P6),
(P4;P1),(P4;P2),(P4;P3),(P4;P5),(P4;P6),
(P5;P1),(P5;P2),(P5;P3),(P5;P4),(P5;P6),
(P6;P1),(P6;P2),(P6;P3),(P6;P4),(P6,P5)

Dessa forma, n(V) = 30.

Porém, apesar de existirem 30 pares, não existem 30 distâncias diferentes.
Observe que a distância, por exemplo, de P1 a P2 é a mesma de P2 a P1.
Descontando esses pares que têm vértices permutados serão C(6,2) = 6!/(4!2!)
= 15 distâncias até agora. Exemplificando:

(P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6),
(P2,P3),(P2;P4),(P2;P5),(P2;P6),(P3;P4),
(P3;P5),(P3;P6),(P4;P5),(P4;P6),(P5;P6),

Voltando a pensar no plano de Argand-Gauss, cada par é um afixo no plano e
há uma circunferência que contém os seis afixos. A distância entre dois
afixos consecutivos (lado do hexágono) é a mesma, pois trata-se de um
hexágono regular. Descontando-se esses afixos consecutivos, ficaremos com 11
distâncias distintas:

(P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6),(P2;P4),
(P2;P5),(P2;P6),(P3;P5),(P3;P6),(P4;P6)

Analogamente, (P1;P3) possuirá, por exemplo, a mesma distância de (P2;P4),
pois cada par possui simetria em relação a outro se o outro possuir pontos
simétricos em relação aos do primeiro. Note que tudo isso é válido
principalmente por se tratar de um hexágono regular. Isso ocorre também, por
exemplo, para (P1;P4) e (P2;P5). Eliminando os pares simétricos que, assim,
possuem a mesma distância, vêm:

(P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6)

E isso faz sentido. As distâncias distintas, num hexágono regular, são as
obtidas tomando-se um dos pontos (no caso, P1) e cada um dos outros.

Dessa forma, n[Im(f)] = 5.


É um problema bem legal! ;-)


Abraços,

Rafael de A. Sampaio



----- Original Message -----
From: Thor
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, March 06, 2004 4:00 PM
Subject: [obm-l] Duvidas (Funções)



Sejam V = {( P;Q) | P e Q são vértices distintos de um hexágono regular} e f
uma função que associa a cada par (P;Q) de V a distância de P a Q. O número
de elementos do conjunto imagem de f é?

                        Agradeço desde de já.


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