Re: [obm-l] conjectura sobre colinearidade

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 05.03.04 12:06, Luis Lopes at llopes@ensrbr.com.br wrote:

> Sauda,c~oes,
> 
> Seja dado o triangulo AP_0Q_0 .
> 
> Em AP_0 e AQ_0 marcamos P_0Q_i,
> e Q_0P_i  tais que P_0Q_i = Q_0P_i = m_i,
> i = 1,2,....  e m_i <> m_{i+1} (todos diferentes
> entre si). Unimos P_0P_i  e  Q_0Q_i,
> obtendo a interseção R_i.
> 
> Conjectura: os R_i são colineares.
> 
> Como provar? Qual a teoria que suporta
> tal resultado? Teorema de Desargue?
> 
> Se a conjectura vira um teorema, temos
> uma solução para os problemas
> A,a+b,a-c  e  A,a-b,a-c.
> 
> []'s
> Luís
> 
> 
Oi, Luis:

A conjectura eh verdadeira. Veja a seguir...

Considere o triangulo APQ e vetores unitarios u e v nas direcoes PA e QA,
respectivamente. Se |PA| = b e |QA| = c, entao teremos que o vetor PQ serah
bu - cv.

Sejam Q' sobre AP e P' sobre AQ tais que |PQ'| = |QP'| = m.
Entao, PQ' = mu  e  QP' = mv.

PP' = bu - cv + mv = bu + (m-c)v
QQ' = mu - (bu - cv) = (m-b)u + cv

Interseccao de PP' e QQ' ==> existem x e y reais tais que:
R = PQ + x*QQ' = y*PP' ==>
bu - cv + x*((m-b)u + cv) = y*(bu + (m-c)v) ==>
(b + (m-b)x - by)u + (-c + cx - (m-c)y)v = 0

Como o triangulo APQ eh nao degenerado, u e v sao L.I.
Assim:
(m-b)x - by = -b
cx - (m-c)y = c

Resolvendo este sistema, obtemos:
x = b/(b+c-m)  e  y = c/(b+c-m)

O ponto de interseccao serah:
R = y*PP' = c(bu + (m-c)v)/(b+c-m)

dR/dm = bc(u + v)/(b+c-m) = multiplo de um vetor constante (u + v) ==>
ao se variar m, R percorre uma linha reta ==> CQD

Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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