Re: [obm-l] conjectura sobre colinearidade

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Oi Claudio,

Vc escreveu num outro email:
===
Acho que, se a conjectura for verdadeira, a demonstracao nao deve sair via
geometria projetiva, pois ela envolve comprimentos fixos, que nao se mantem
apos uma transformacao projetiva.
===

Gostei da prova abaixo. Obrigado.

Na verdade eu sabia que a conjectura era
verdadeira mas procurava uma demonstracao
ou comentários via geometria projetiva.

Esta reta aparece na tradução do alemão pro
inglês de uma solução pro problema "construir
o triângulo ABC dados A,a+b,a+c."

...... The first place of the point O is therefore the
arc of the circle with the segment HK
(o meu P_0Q_0) and the angle omega (arco
capaz de 90+A/2 sobre o segmento P_0Q_0).

Let we now two points P and Q running on the lines HA and KA such that
always KQ=HP we describe two projective point series and the half lines KP
and HQ produce two projective pencils of lines. Since the connencting line
HK of the centers K and H of the two pencils contain two homological lines
the pencils are perspective. I.e. the intersection of any two homological
lines KP and HQ lies on one line, the axis of perspectivity.

The second place of the point O (the intersection of homological lines KA
and HB) is this axis of perspectivity.
To get easely this axis we construct M on HA
 by HM=KA and N on KA by KN=HA.
Then MN is the axis of perspectivity. After O is determined by the
intersection of the two places, we find B resp. C as intersection of AH and
KO resp. AK and HO.

[My remark: Best greetings Gerd Baron]

Gostaria de uma referência onde pudesse
aprender sobre o que está escrito (homological
lines, the axis of perspectivity etc).

Alguma Eureka já tocou neste assunto?

[]'s
Luis



-----Mensagem Original-----
De: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: sábado, 6 de março de 2004 01:42
Assunto: Re: [obm-l] conjectura sobre colinearidade



> > Sauda,c~oes,
> >
> > Seja dado o triangulo AP_0Q_0 .
> >
> > Em AP_0 e AQ_0 marcamos P_0Q_i,
> > e Q_0P_i  tais que P_0Q_i = Q_0P_i = m_i,
> > i = 1,2,....  e m_i <> m_{i+1} (todos diferentes
> > entre si). Unimos P_0P_i  e  Q_0Q_i,
> > obtendo a interseção R_i.
> >
> > Conjectura: os R_i são colineares.
> >
> > Como provar? Qual a teoria que suporta
> > tal resultado? Teorema de Desargue?
> >
> > Se a conjectura vira um teorema, temos
> > uma solução para os problemas
> > A,a+b,a-c  e  A,a-b,a-c.
> >
> > []'s
> > Luís
> >
> >
> Oi, Luis:
>
> A conjectura eh verdadeira. Veja a seguir...
>
> Considere o triangulo APQ e vetores unitarios u e v nas direcoes PA e QA,
> respectivamente. Se |PA| = b e |QA| = c, entao teremos que o vetor PQ
serah
> bu - cv.
>
> Sejam Q' sobre AP e P' sobre AQ tais que |PQ'| = |QP'| = m.
> Entao, PQ' = mu  e  QP' = mv.
>
> PP' = bu - cv + mv = bu + (m-c)v
> QQ' = mu - (bu - cv) = (m-b)u + cv
>
> Interseccao de PP' e QQ' ==> existem x e y reais tais que:
> R = PQ + x*QQ' = y*PP' ==>
> bu - cv + x*((m-b)u + cv) = y*(bu + (m-c)v) ==>
> (b + (m-b)x - by)u + (-c + cx - (m-c)y)v = 0
>
> Como o triangulo APQ eh nao degenerado, u e v sao L.I.
> Assim:
> (m-b)x - by = -b
> cx - (m-c)y = c
>
> Resolvendo este sistema, obtemos:
> x = b/(b+c-m)  e  y = c/(b+c-m)
>
> O ponto de interseccao serah:
> R = y*PP' = c(bu + (m-c)v)/(b+c-m)
>
> dR/dm = bc(u + v)/(b+c-m) = multiplo de um vetor constante (u + v) ==>
> ao se variar m, R percorre uma linha reta ==> CQD
>
> Um abraco,
> Claudio.
>


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================