Re: RES: [obm-l] Exercicio Geometria Plana - ANTIGO

[<sergioln@xxxxxxxxxxx>]

Esta solucao do Guilherme eu nao conhecia.
Este problema e´ de fato o mesmo do livro do Morgado.
Ele (o problema, e nao o Morgado) aparece ainda
no livro do Coxeter ("Geometry Revisited")
e ainda em um outro livro que tenho de "Selected Problems in Geometry".
A primeira vez que o vi (o problema) foi num curso
pre-vestibular em que o Prof. Brandao do Impacto me mostrou a seguinte
solucao.
(mesmo tendo a solucao do Guilherme, talvez valha a pena seguir
esta outra solucao pela elegancia da mesma).

Trace CD, com D em AB, tal que <ACD = 20
(ou seja, esta reta CD é completamente magica, mas ela
gera uma serie de resultados interessantes que tornará o problema
até mesmo trivial)
Do triângulo ACD:
  <CAD = 80, <ACD = 20 => <ADC = 80 => AC = CD (1)
Do triângulo CAP:
  <CAP = 50, <ACP = 80 => <APC = 50 => AC = CP (2)
De (1) e (2): CD = PC, logo o triângulo CDP é isósceles
com um ângulo <DCP = 60. Com estas condições, o triângulo CDP
é de fato um triângulo equilátero e assim:
  CD = CP, <DCP = 60 => <CDP = 60, <CPD = 60 e ainda CD = CP = DP (3)
Além disto, tem-se do mesmo triângulo que: <APD = 10 (A)
Do triângulo DCQ:
  <CDQ = 100, <DCQ = 40 => <CQD = 40 => CD = DQ (4)
De (1), (2), (3) e (4):
  AC = CD = CP = DP = DQ (!)
Do triângulo DPQ:
  DP = PQ, <PDQ = 40 => <DPQ = 70 (B)

Por (A) e (B), o ângulo pedido, <APQ, é tal que
  <APQ = <APD + <DPQ = 10 + 70 = 80

Obs: A versão mais comum deste problema pede o ângulo <CPQ
que naturalmente é igual a 30.

> Olá a todos!
>
> A solução que o Nicolau citou é obtida traçando-se uma paralela QQ´ a
> AC, onde Q´ pertence ao lado BC. Ligando-se o ponto Q´ ao ponto A,
> obtemos o ponto D na interseção de AQ´ com CQ. Como o triângulo ACD é
> equilátero e o triângulo APC é isósceles, verificamos que PC = DC. Logo,
> o ângulo PDC = 80º e portanto, PDQ´ mede 40º. Do triângulo ACQ´, tiramos
> que o ângulo AQ´C mede também 40º. Vemos, portanto, que os triângulos
> DQQ´ e DPQ´ são respectivamente equilátero e isósceles apoiados na mesma
> base DQ´. Daí tiramos que as alturas são também bissetrizes internas e
> estão sobre a reta QP. Logo, o ângulo QPD mede 50º pois é a metade de
> DPQ´ que vale 100º. Como o ângulo APQ é a soma de APD e DPQ, ele mede
> 30º + 50º = 80º.
>
> Eu também estou muito interessado na solução geral para ângulos
> quaisquer na base, já que esta solução só funciona porque o triângulo
> APC é isósceles e o triângulo ACD é equilátero. Se mudássemos o ângulo
> CAP para 45º, por exemplo, já não poderíamos aplicar a mesma solução.
> Como fazer neste caso? Acredito que seja também uma luz para o problema
> do Pacini que tinha o título geometria nesta lista. Só consigo resolver
> utilizando trigonometria e/ou geometria analítica.
>
> Um grande abraço,
>
> Guilherme Marques.
>
>
>
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em
> nome de ronaldogandhi@ig.com.br
> Enviada em: quarta-feira, 25 de fevereiro de 2004 19:12
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] Exercicio Geometria Plana - ANTIGO
>
>
> Em 25 Feb 2004, obm-l@mat.puc-rio.br escreveu:
>
>>On Wed, Feb 25, 2004 at 06:45:10PM -0300, Victor Machado wrote:
>>> 80. ABC é um triangulo isosceles cujo angulo do vertice ^B = 20o ; P
>>> e Q
>>sao
>>> pontos respectivamentes dos lados iguais BC e AB tais que o angulo
>>> CÂP =
>>50o
>> e o angulo A^CQ = 60o . Calcular o angulo A^PQ. ---
>>
>>Este problema é um clássico e é bastante difícil.
>>A solução mais tradicional envolve traçar umas retas auxiliares
>>e observar que um monte de triângulos são isósceles e/ou equiláteros.
>
>    Me deram esse problema quando eu tinha 14 e eu não resolvi,
> mas fiz o que o professor Nicolau está dizendo, tracei um
> monte de retas auxiliares e triângulos e fiquei analisando
> as geometrias das figuras.  O que me veio a mente depois de
> ver a solução, foi se existiria solução no caso geral para
> ângulos arbitrários e como alguém resolveria isso neste
> caso.
>      Eu imagino que as técnicas aplicadas para resolver
> o caso geral não sejam elementares e apelariam para
> formas modulares ou coisas do gênero.  Talvez alguém da
> lista possa falar a respeito.
>
> []s
>   Ronaldo L. Alonso
>
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