Re: [obm-l] Iezzi: Comparacao entre numero e raizes...

["Rafael" <cyberhelp@xxxxxxxxxx>]

Rick,

Então, vamos recomeçar a questão só usando essas condições que o livro
sugeriu? Deixarei todos os cálculos expostos, dessa forma, é mais fácil de
se entender (e mais difícil de se errar).

- Determinar "m" de modo que a equação do 2º. grau "mx^2-2(m+1)x+m+5=0"
tenha raízes reais tais que 0<x_1<x_2<2.

Passo 1:

Delta > 0 ==> (-2(m+1))^2 - 4m(m+5) > 0 ==> 4(m^2+2m+1) - 4m^2 - 20m > 0
==> -12m > -4 > 0 ==> m < 1/3

(O seu erro está na distributiva de - 4m(m+5) = - 4m^2 - 20, que é, - 4m^2 -
20m).

Passo 2:

f(0) = m + 5
f(2) = m + 1

Sabemos que f(x_1) = f(x_2) = 0.

Se m > 0, então:

f(0) > f(x_1) ==> f(0) > 0
f(2) > f(x_2) ==> f(2) > 0

Se m < 0, então:

f(0) < f(x_1) ==> f(0) < 0
f(2) < f(x_2) ==> f(2) < 0

Logo, para ambos os casos, teremos:

m*f(0) > 0 ==> m(m+5) > 0 ==> m < -5 ou m > 0
m*f(2) > 0 ==> m(m+1) > 0 ==> m < -1 ou m > 0


Passo 3:

As raízes que estão no intervalo 0 < x_1 < x_2 < 2 são positivas. Dizer
média aritmética das raízes é o mesmo que se referir ao eixo de simetria da
parábola em estudo. Dessa forma:

x_1+x_2 = [2(m+1)]/m  e  0 < (x_1+x_2) < 2

(x_1+x_2)/2 > 0 ==> (m+1)/m > 0 ==> m(m+1) > 0 ==> m < -1 ou m > 0
e
(x_1+x_2)/2 < 2 ==> (m+1)/m < 2 ==> m(m+1) < 2m^2 ==> m(m-1) > 0 ==> m < 0
ou m > 1

Portanto, (m < -1 ou m > 0) e (m < 0 ou m > 1) <=> m < -1 ou m > 1


Dos resultados anteriores, concluímos que m < -5. (Sugestão: você pode
montar o "varal" (várias retas dos reais) para cada passo e seus resultados.
A intersecção, assim, é mais facilmente visualizada.)

Qualquer dúvida, não hesite, escreva! ;-)


Abraços,

Rafael de A. Sampaio




----- Original Message -----
From: "Rick" <rickardorios16@hotmail.com>
To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, June 28, 2000 10:27 PM
Subject: Re: [obm-l] Iezzi: Comparacao entre numero e raizes...


Rafael, obrigado pela resposta, mas eu segui os procedimentos do livro e nao
consigo chegar nela. Tipo, ele diz que o conjunto solucao eh a interseccao
das condicoes [delta>0, a.f(x)>0 (onde "a" eh o coeficiente dominante da
funcao), s/2 (media artmetica das raizes) > (ou <, a depender da posicao em
relacao as raizes) "o numero natural a ser comparado"]

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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