Re: [obm-l] Iezzi: Comparacao entre numero e raizes...

["Rafael" <cyberhelp@xxxxxxxxxx>]

Ahhh, e faltou uma condição ainda!

Devemos ter a soma das raízes positiva:

x_1+x_2 > 0 ==> 2(m+1)/m > 0 ==> m < -1 ou m > 0 (IV)

Agora, sim, de I, II, III e IV, podemos concluir m < -5.




----- Original Message -----
From: "Rafael" <cyberhelp@bol.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, February 24, 2004 10:14 PM
Subject: Re: [obm-l] Iezzi: Comparacao entre numero e raizes...


Rick,

O livro do Iezzi raramente tem erros, ao menos, os volumes que já usei e as
edições mais recentes estão bem cautelosas quanto às resoluções. Sobre a
simbologia, é recomendável que não se usem esses caracteres para escrever
mensagens, pois nem todos utilizam gerenciadores de e-mails compatíveis.
Para o que você não conseguir utilizar símbolos, utilize as palvras:
discriminante > 0, por exemplo, A inter B etc.

Sobre o seu problema, vamos lá.

mx^2-2(m+1)x+m+5=0 , m <> 0

Discriminante > 0 ==> (-2(m+1))^2-4m(m+5)>0 ==>
==> m < 1/3  (I)

Sabemos que o produto das raízes deverá ser positivo, logo:

x_1*x_2 > 0 ==> (m+5)/m > 0 ==> m < -5 ou m > 0   (II)

Pelo teorema de Bolzano, para que existam um número par de raízes reais no
intervalo ]0;2[:

f(0)*f(2) > 0 ==> (m+5)(m+1) > 0 ==> m < -5 ou m > -1  (III)

Das condições I, II e III, concluímos que m < -5.


Abraços,

Rafael de A. Sampaio




----- Original Message -----
From: "Rick" <rickardorios16@hotmail.com>
To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, February 24, 2001 8:50 PM
Subject: [obm-l] Iezzi: Comparacao entre numero e raizes...


Olá pessoal,
       Como sempre, estava estudando por Iezzi, e surgiu uma duvida sobre a
comparacao entre um numero real e as raizes de uma funcao do 2 grau. Foi no
exercicio abaixo:

1)Determinar "m" de modo que a equacao do 2 grau "mx^2-2(m+1)x+m+5=0" tenha
raizes reais tais que 0<x_1<x_2<2.

Eu resolvi o problema (seguindo as orientacoes do livro) desta forma:

b^2-4ac>0 <==> [-2(m+1)]^2-4m(m+5) = 8m-16>0 ==> m>2 (I)

p/ 0<x_1<x_2:
a.f(0)>0 <==> m(m-5)>0 ==> m>0 ou m<-5 (II)
*s/2>0 <==> 2m+2/2m>0 ==> m>-1 (III)
*(S/2 eh a media artmetica das raizes)

p/ x_1<x_1<2:
a.f(2)>0 <==> m[4m-4(m+1)+m+5] ==> m>0 ou m<-1 (IV)
*s/2<2 <==> -2(m+1)/2m<2 <==> -6m-2<0 ==> m>1/3 (V)

o conjunto solucao serah a inter das 5 inequacoes, ou seja, I inter II inter
III inter IV inter V.
Minha resposta foi, m>2.
Porem, o livro disse que a resposta eh m<-5. Em que lugar errei? jah revisei
todo o cauculo e nao achei erro, entao, eu peco a ajuda de algum membro para
este meu problema. Tambem gostaria de saber se em livros como iezzi (ou
outros livros de edicoes antigas) sao frequentes os erros nas respostas (nao
que esse seja o caso, pois, em uma questao posterior, fiz da maneira como o
livro me ensinou porem a resposta nao batia, por isso acho que o problema eh
comigo).

P.S: Alguem sabe como coloca (digita) o simbolo do "delta" e da
"interseccao"?

Desde jah, agradeco o tempo depositado na leitura e na assistencia do
problema.

=Rick=

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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