[obm-l] Re: Geometria Plana

[JoaoCarlos_Junior@xxxxxxxxxxxxx]

Alguém colocara na lista o exercício que abaixo segue, porém, cometi o
equívoco de apagá-lo:

      Dado  um  triângulo  ABC,  as tangentes ao círculo circunscrito a tal
  triângulo,  pelos  vértices  dos  mesmos, interceptam os lados opostos em
  três pontos distintos. Provar que tais pontos são colineares.

      A  solução que segue é simples, não no sentido de bela, mas devido ao
  uso  de  parcos  conhecimentos  para  inferi-la. Dirigindo-me ao original
  interessado na resolução, digo:

      Desenhe  a  figura  ou parte dela. Sejam M, N e P esses pontos: M é a
  intersecção de AC com a tangente ao círculo por B; N é a interseção de BC
  com a tangente por A, e P é o outro, construído de forma semelhante. Seja
  X  a  interseção  das  tangentes por A e B. Ainda com linguagem, sejam os
  ângulos: NMB = teta, MNA = alfa, BNP = beta e BPN = delta. Assim:

            Triângulo MNX, teta + alfa = 2C;
            Triângulo PNB, beta + delta = 180 ? B e
            Triângulo MPB, teta + delta = C.

      Logo,  alfa + beta = 180 + C ? B. Como ANB = B ? C, tem-se que alfa +
  beta + ANB = 180. Logo, M, N e P são colineares.

      Essa  questão  suscitou-me  outras.  Assim,  inquiro ao professores e
  interessados: quais são todas as formas, em geometria plana, de se provar
  colinearidade de três pontos? Lembro-me de Simpson. Quais as outras?

  ATT. João Carlos.





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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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