[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] COMISSÃO DE FRENTE!

["ponciomineiro" <ponciomineiro@xxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, February 24, 2004 1:00 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] COMISSÃO DE FRENTE!


> On Mon, Feb 23, 2004 at 10:54:54PM -0300, jorgeluis@edu.unifor.br wrote:
> > Três pontos são selecionados aleatóriamente numa circunferência de raio
> > unitário. Encontre a probabilidade de esses pontos pertencerem a uma
mesma
> > semicircunferência.
>
> Minha interpretação do enunciado é que a medida de probabilidade é a
uniforme
> e que os três pontos são escolhidos independentemente.
>
> Podemos supor que o círculo é o círculo unitário em C.
> Multiplicar os três pontos por um mesmo complexo de módulo 1 não altera
> a condição (de que os três estejam em uma semicircunferência) assim
> podemos supor sem perda de generalidade que o primeiro ponto é 1.
> Conjugar os três pontos também não altera a condição e podemos portanto
> supor que o segundo é e^(ti), 0 <= t <= pi; a distribuição de
probabilidade
> de t neste intervalo é uniforme. O terceiro ponto é e^(si), -pi <= s <=
pi:
> a condição vale desde que t - pi <= s <= pi. Assim, dado t, a
probabilidade
> de que valha a condição é (2pi - t)/2pi = 1 - t/2pi. A probabilidade que
> queremos calcular é p = (1/pi) * int_0^pi (1 - t/2pi) dt = 3/4.
>
> []s, N.

Nicolau e amigos da lista, boa noite!!!
Gostaria de solicitar comentários acerca do modo que acredito ter
resolvido a questão:
Considere A e B dois pontos não diametralmente opostos tomados nessa
circunferência (caso fossem diametralmente opostos seria evidente que os
três pontos pertenceriam a uma mesma semicircunferência). Considere, ainda,
A* e B* pontos diametralmente opostos a A e B, respectivamente. Observe que,
dessa forma, divido a circunferência nos arcos AB, BA*, A*B* e B*A.
Portanto, o terceiro ponto estaria em uma mesma semicircunferência dos
outros dois caso não pertencesse a A*B* (excluindo A* e B*, evidentemente).
Logo, a probabilidade pedida seria 3/4.
Um grande abraço a todos,
Poncio Mineiro



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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