Re: [obm-l] geometria

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

Um fato que ajuda muito é o seguinte. Um triângulo esférico é um pedaço
da esfera de raio 1 limitaedo por três "segmentos" que são pedaços de
círculos máximos. Um triângulo esférico tem três ângulos A, B, C.
A área deste triângulo é A + B + C - Pi (onde A, B, C são medidos
em radianos).

On Wed, Feb 25, 2004 at 08:42:54PM +0000, kleinad@webcpd.com wrote:
> DESAFIO!!!!!!!!!!!!!!!!!!
> @4 esferas iguais de raio r estão se tangenciando de forma que a ligação de
> seus centros formem um tetraedro. O tetraedro “corta” um certo volume de
> cada esfera, qual é o valor desse volume em função de r?

Tome r = 1. Os ângulos entre faces de um tetraedro regular são iguais
a A = 2 arc sen(sqrt(3)/3) ~= 1.230959418. Então a área do triângulo esférico
contido no tetraedro é SA = 3*A - Pi ~= 0.551285599. O volume é 1/3 disso
(pois o volume da esfera de raio 1 é 1/3 da sua área) logo
A - Pi/3 ~= 0.1837618663.

Se o raio tiver outro valor é só multiplicar por r^3.

Observe que isto é um pouco menos de 1/20 do volume da esfera
(que dá 4*Pi/(3*20) ~= 0.2094395103.

> @5 esferas iguais de raio r estão se tangenciando da forma que a ligação de
> seus centros forme uma pirâmide de base quadrática com todas as arestas
> iguais. Haverá 2 tipos de volumes cortados pelas esferas: o volume que as 4
> esferas da base quadrática “corta” da pirâmide e o volume que a esfera do
> topo “corta” da mesma. Qual é o valor desses dois volumes em função de r?

Aqui os centros das suas 5 esferas são 5 dos 6 vértices de um octaedro
regular então o volume do topo é o dobro de cada um dos volumes da base.
Da mesma forma o triângulo esférico que aparece na base tem ângulos 
B, B e 2B, onde B é o ângulo entre uma face do octaedro e o plano
que passa por 4 dos seus vértices. Mas B é igual ao ângulo formado 
pelos vetores (1,1,1) e (0,0,1) (que são perpendiculares a uma face e a
um plano se os vértices do octaedro forem (+-sqrt(2),0,0),
(0,+-sqrt(2),0), (0,0,+-sqrt(2)) para que a aresta seja 2)
logo B = arc cos(sqrt(3)/3) ~= 0.9553166180. Também dava para ver que
A/2 + B = Pi/2 olhando como octaedros e tetraedros se encaixam para
encher o espaço (tome todos os pontos de coordenadas inteiras com soma
par e ligue pontos a uma distância sqrt(2)). Mas o fato é que a área
do nosso triângulo esférico é 4*B - Pi ~= 0.679673818 e o volume é
(4*B - Pi)/3 ~= 0.2265579393. A área no topo é o dobro, como já dissemos,
SB = 8*B - 2*Pi ~= 1.359347636 e o volume é (8*B - 2*Pi)/3 ~=  0.4531158786.

Observe que 6*SB + 8*SA = 4*Pi, coerentemente com aquela maneira de encher
o espaço com octaedros e tetraedros: há 6 octaedros e 8 tetraedros ao redor
de cada vértice.

> @Se do volume da pirâmide quadrática acima for “cortado” todos os volumes
> formado pelas 5 esferas, parte somente de dentro da pirâmide, sobrará um
> volume central não “cortado”.

O volume da pirâmide (meio octaedro) é claramente 4*sqrt(2)/3 ~= 1.885618082.
Este volume central é portanto 4*sqrt(2)/3 - 8*B + 2*Pi ~= 0.526270446.

> Se o volume central fosse
> necessariamente “distribuído” para as 5 esferas, como seria feito a
> distribuição? Ela seria proporcional à área superficial da parte esférica de
> dentro da pirâmide ou ao volume que cada esfera “corta” da pirâmide?

Esta parte eu não entendi. Minha única observação é que os volumes e áreas
são trivialmente proporcionais, como já vimos.

[]s, N.
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================