Re: [obm-l] Outro Problema Legal

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal,

Eu vou aproveitar este bate-papo com o Prof Nicolau para esclarecer uma 
confusao que tenho visto
ocorrer com muitos estudantes, em relacao a integral de Riemann.

Se f:[a,b] -> R e integravel entao f:[a,x] -> R e integravel para todo x em 
[a,b]. Este fato e
facilmente demonstravel usando os conceitos de soma superior e inferior e 
fica aqui como
exercicio. O que quero fixar neste momento e que este fenomeno nos permite 
definir uma
funcao :

G:[a,b] -> R dada for G(x)=INTEGRAL(a ATE x) f(x)dx

Esta funcao e chamada INTEGRAL INDEFINIDA de f mas ( e este "mas" e bem 
grande ) esta
definicao NAO GARANTE que a funcao "G" E DERIVAVEL ...

Exemplo 1 :

f:[1,3] -> R
f(x) = 5 se 1 =< x < 2  e  f(x) = 7 se 2 =< x =< 3

Esta funcao e evidentemente integravel e faz sentido definir uma funcao "G" 
como fizemos acima.
Todavia, G, nao obstante continua, NAO E DERIVAVEL no ponto x=2, justamente 
o ponto de
descontinuidade de f.

O quero dizer e que muitas propriedades interessantes de G dependem de 
outras propriedades
interessantes de f. E o estudo da integral de Riemann tem esta faceta, vale 
dizer, a partir de
uma compreensao de f inferimos propriedades em G.

Exemplo 2 :

Se f :[a,b]->R integravel for limitada entao G e necessariamente continua ( 
mais : G sera
uniformemente continua ! )

Se f:[a,b]-> for continua ( e portanto integravel )  entao G e derivavel.

E este ultimo fenomeno, facilmente demonstravel e que fica aqui como 
exercicio, que permite definir
a FUNCAO PRIMITIVA. "G" sera uma primitiva de f se, alem de ser definida 
como falamos acima,
for derivavel. E MUITO IMPORTANTE PERCEBER ESTA DIFERENCA : Toda primitiva e 
uma integral
indefinida, mas nem toda integral indefinida e uma primitiva.

Se G e primitiva de f entao G'(x)=f(x). Claramente que se f for de classe 
C^1 entao tem derivada
e esta derivada e continua. Daqui segue que f e uma primitiva de f'. 
Claramente que nao estou
dizendo que f precisa ser C^1 para ter primitiva.

Entao fica claro que PRIMITIVA e INTEGRAL INDEFINIDA sao conceitos 
diferentes. Eu acho que
esta confusao deriva de alguns livros que misturam sutilmente estes 
conceitos. Mas e certo que
nao raro muitos estudantes confundem estas coisas.

Eu sei que me afastei um pouco do nosso tema, MATEMATICA OLIMPICA, mas penso 
ser justificavel para que a minha resposta abaixo fique clara. Alem disso, 
eu acredito que este esclarecimento pode
ser util para algumas pessoas.

Um abraco a Todos
Paulo Santa Rita
4,1941,250204

>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Outro Problema Legal
>Date: Wed, 25 Feb 2004 19:43:48 -0200
>On Wed, Feb 25, 2004 at 08:18:49PM +0000, Paulo Santa Rita wrote:
> > A integral era de Riemann. Se f e continua entao e integravel e sua 
>integral
> > indefinida e derivavel, logo, e uma primitiva. Portanto, EU PODERIA usar 
>o
> > Teorema Fundamental tal como usei. No enunciado estava claro ( se nao
> > coloquei isso aqui, foi esquecimento ) que f era continua em R
> > (numeros reais)
>
>Se f era contínua então você tem razão,
>o professor é que foi criador de caso.
>
>[]s, N.
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