Re: [obm-l] Outro Problema Legal

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Feb 25, 2004 at 04:34:22PM +0000, Paulo Santa Rita wrote:
> " Se f:R->R e periodica de periodo T e integravel em qualquer intervalo, 
> mostre que :
> INTEGRAL(A ate A+T) f = INTEGRAL(0 ate T) f  qualquer que seja a constante 
> A"
> 
> A questao e trivialissima e eu coloquei :
> 
> Como f e integravel em qualquer intervalo, a funcao F(x)=INTEGRAL(x ate x+T) 
> f esta bem definida. Pelo TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO segue que F'(x) = 
> f(x+T) - f(x).  Ora, f e periodica de periodo T. Entao F'(x)=0. Isto implica 
> F(x)=constante. Logo, o valor de F(x) nao depende de x.
> Portanto F(A)=F(0), isto e : INTEGRAL(A ate A+T) f = INTEGRAL(0 ate T) f.
> 
> A questao valia 3.5 pontos. Eu ganhei 1 ponto nela. Fui ao Prof.
> ( EU PERGUNTEI ) -- Prof, por que eu perdi ponto nesta questao ?
> ( RESPOSTA DO PROF ) -- O seu uso do Teorema Fundamental do Calculo nao e 
> usual ...
> 
> Portanto, e bom ficar atento, porque nao e raro nos depararmos com estas 
> "figuras maravilhosas" que tem a  imensa habilidade de "essencializar o 
> trivial e trivializar o essencial". A mediocridade
> e uma doenca cultural, incuravel, transmissivel por conceitos e 
> procedimentos.

Eu n�o resisto � tenta��o de tumultuar um pouco...

Que tipo de integral � esta? Se for de Lebesgue, ent�o voc� *n�o pode*
(a primeira vista) afirmar que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x;
voc� s� pode afirmar que F'(x) = 0 para quase todo ponto.
E o fato da fun��o F ser cont�nua e ter derivada zero qtp *n�o*
� suficiente para garantir que F � constante!

Mesmo se a integral for de Riemann, voc� continua sem poder afirmar
(a primeira vista) que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x.
Isto s� vale se f for sabidamente cont�nua em x e x+T (ou algo similar).
Note que o enunciado n�o diz que f � cont�nua nem nada do g�nero
apesar de que talvez fosse esta a inten��o.

[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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