Re: [obm-l] Mais grupos

[ronaldogandhi@xxxxxxxxx]

> 1) Prove que todo grupo finito eh um subgrupo maximal e nao-normal de 
>algum 
> grupo finito. 
> 1) (G,*) é subgrupo maximal de (G uniao H, *) e 
> G inter H = vazio. 
> 2) (G,*) não é normal a (G uniao H, *) 
> 

Cláudio Buffara escreveu: 

> 
>Voce parece estar querendo dizer que H eh uma classe lateral de G U H, ou 
>seja, existe x em H tal que G U H = G U x*G (logo, H = x*G). 
>Mas isso implica que G eh um subgrupo de indice 2 de G U H e todo subgrupo 
>de indice 2 eh normal. 
> 

  Parece que vc tem um dom sobrenatural de amplificar 
pensamentos. E o que eu viajosamente 
pensava não funciona... 
  Bem, então H não pode ser uma classe lateral de 
(G U H, *)!   Temos ainda um trunfo:  G U H é finito, 
logo temos que acrescentar apenas m elementos a G U H. 

    Seja h_1,h_2,...h_m os elementos distintos 
a serem acrescentados para qualquer h_i temos três 
possibilidades: 

(1)       h_i = h_s * h_t   ou 
(2)       h_i = g_s * h_t   ou 
(3)       h_i = h_t * g_s 

     Agora surge uma questão: Poderiam todos os elementos 
de H acrescentados cair em (1)?  Neste caso, 
 H seria fechado em relação à operação *. 
    Isto é:  Se g está em G e h1 está em H então g*h1 tem 
necessariamente que estar em G. Não pode estar em 
H, pois se estivesse, então este g seria igual a um h2 
(pois H é fechado em relação à *). 
   A mesma coisa ocorre para a situação recíproca: 
Se G está em G e h2 está em H então h2*g tem necessariamente 
que estar em G. Não pode estar em H, pois esse caso esse 
g seria igual a um h1.  Concluímos que a situação 1 não 
existe certo ?????? :) 

  Nos resta agora: 

(2)       h_i = g_s * h_t   ou 
(3)       h_i = h_t * g_s 

   Como sabemos da observação anterior, não podemos ter 
 todo h_i = g * h_t para um único g (pois neste caso 
 o H todo seria uma classe lateral e G seria subgrupo de 
  índice 2 de G U H).   Não podemos ter os dois 
casos simultaneamente, pois senão o grupo seria abeliano 
e portanto normal. 
     Logo eu digo que G U H = HG_1 U HG_2 U ... U HG_M sendo 
 que HG_i = h_i * G  é uma classe lateral de G U H 
 que não pode ser vazia pela conclusão acima. 
     Como as classes laterais induzem uma partição em 
G U H  então a interseção HG_i inter HG_j é 
vazia (apenas observando). 
     O mesmo parece acontecer se fizessemos a coisa 
simétricamente, ou seja:  G U H = HG_1 U HG_2 U ... U HG_M 
sendo que HG_i = g_i * H  e a mesma propriedade de interseção 
se verifica. 
    Estava pensando agora em ir por outros caminhos 
e usa a não comutatividade isto é 
 HG_1 != GH_1. 
    Como as intersecções são 
vazias e as duas partições formam G U H então temos 
que ter  GH_1 contido em HG_2 U ... U HG_M.  \ 
   e como as classes laterais formam um grupo 
(grupo quociente) então estendendo GH_1 é um elemento 
de (G U H) / G  que está em (G U H)/ H, fazendo isso 
para os m elementos GH_m concluímos que os dois grupos 
são isomórficos.  Mas não sei no que isso poderia dar... 

[]s 
   Ronaldo L. Alonso 

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