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Re: [obm-l] Mais grupos
> 1) Prove que todo grupo finito eh um subgrupo maximal e nao-normal de
>algum
> grupo finito.
> 1) (G,*) � subgrupo maximal de (G uniao H, *) e
> G inter H = vazio.
> 2) (G,*) n�o � normal a (G uniao H, *)
>
Cl�udio Buffara escreveu:
>
>Voce parece estar querendo dizer que H eh uma classe lateral de G U H, ou
>seja, existe x em H tal que G U H = G U x*G (logo, H = x*G).
>Mas isso implica que G eh um subgrupo de indice 2 de G U H e todo subgrupo
>de indice 2 eh normal.
>
Parece que vc tem um dom sobrenatural de amplificar
pensamentos. E o que eu viajosamente
pensava n�o funciona...
Bem, ent�o H n�o pode ser uma classe lateral de
(G U H, *)! Temos ainda um trunfo: G U H � finito,
logo temos que acrescentar apenas m elementos a G U H.
Seja h_1,h_2,...h_m os elementos distintos
a serem acrescentados para qualquer h_i temos tr�s
possibilidades:
(1) h_i = h_s * h_t ou
(2) h_i = g_s * h_t ou
(3) h_i = h_t * g_s
Agora surge uma quest�o: Poderiam todos os elementos
de H acrescentados cair em (1)? Neste caso,
H seria fechado em rela��o � opera��o *.
Isto �: Se g est� em G e h1 est� em H ent�o g*h1 tem
necessariamente que estar em G. N�o pode estar em
H, pois se estivesse, ent�o este g seria igual a um h2
(pois H � fechado em rela��o � *).
A mesma coisa ocorre para a situa��o rec�proca:
Se G est� em G e h2 est� em H ent�o h2*g tem necessariamente
que estar em G. N�o pode estar em H, pois esse caso esse
g seria igual a um h1. Conclu�mos que a situa��o 1 n�o
existe certo ?????? :)
Nos resta agora:
(2) h_i = g_s * h_t ou
(3) h_i = h_t * g_s
Como sabemos da observa��o anterior, n�o podemos ter
todo h_i = g * h_t para um �nico g (pois neste caso
o H todo seria uma classe lateral e G seria subgrupo de
�ndice 2 de G U H). N�o podemos ter os dois
casos simultaneamente, pois sen�o o grupo seria abeliano
e portanto normal.
Logo eu digo que G U H = HG_1 U HG_2 U ... U HG_M sendo
que HG_i = h_i * G � uma classe lateral de G U H
que n�o pode ser vazia pela conclus�o acima.
Como as classes laterais induzem uma parti��o em
G U H ent�o a interse��o HG_i inter HG_j �
vazia (apenas observando).
O mesmo parece acontecer se fizessemos a coisa
sim�tricamente, ou seja: G U H = HG_1 U HG_2 U ... U HG_M
sendo que HG_i = g_i * H e a mesma propriedade de interse��o
se verifica.
Estava pensando agora em ir por outros caminhos
e usa a n�o comutatividade isto �
HG_1 != GH_1.
Como as intersec��es s�o
vazias e as duas parti��es formam G U H ent�o temos
que ter GH_1 contido em HG_2 U ... U HG_M. \
e como as classes laterais formam um grupo
(grupo quociente) ent�o estendendo GH_1 � um elemento
de (G U H) / G que est� em (G U H)/ H, fazendo isso
para os m elementos GH_m conclu�mos que os dois grupos
s�o isom�rficos. Mas n�o sei no que isso poderia dar...
[]s
Ronaldo L. Alonso
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