Re: [obm-l] Mais grupos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 19.02.04 15:57, ronaldogandhi@ig.com.br at ronaldogandhi@ig.com.br wrote:

> Em 19 Feb 2004, obm-l@mat.puc-rio.br escreveu:
> 
>> Jah que o problema do automorfismo foi um fiasco, aqui vao mais dois:
>> 
>> 1) Prove que todo grupo finito eh um subgrupo maximal e nao-normal de algum
>> grupo finito. 
>> Pro primeiro eu pensei em tentar uma demonstracao construtiva ou entao usar
>> o teorema de Cayley, mas ateh agora nao fiz nenhum progresso.
> 
> Talvez vc já tenha feito isso, mas vou tentar uma
> demonstração meio "porca":
> 
> Em uma demonstração construtiva, vc
> terá que necessariamente
> adicionar elementos, pois a operação * do
> grupo (G,*) é fechada em G.
> 
> Então temos que ter:
> 
> 1) (G,*) é subgrupo maximal de (G uniao H, *) e
> G inter H = vazio.
> 2) (G,*) não é normal a (G uniao H, *)
> 
> 
> Seja então g \in G e h \in G.
> Como (G uniao H,*) é um grupo, então temos que ter,
> digamos g*h1 \in H, mas h1*g \notin H, pois G não é
> subgrupo normal. 
> 
Mas isso nao eh possivel. Veja soh:
h1*g nao pertence a H ==>
h1*g pertence a G  (pois h1*g pertence a G U H e G inter H = vazio) ==>
h1 = (h1*g)*g^(-1) pertence a G (pois G eh um grupo e g pertence a G) ==>
g*h1 pertence a G (idem) ==>
g*h1 nao pertence a H (pois G e H sao disjuntos)

Voce parece estar querendo dizer que H eh uma classe lateral de G U H, ou
seja, existe x em H tal que G U H = G U x*G (logo, H = x*G).
Mas isso implica que G eh um subgrupo de indice 2 de G U H e todo subgrupo
de indice 2 eh normal.

> Seja  g*h1 com h1 \in H tal que h1 pertence
> somente a H.  Podemos colocar
> g*h1 = h2 com h2 \in H.  Isto pode sempre ser feito
> pois o grupo (G uniao H,*) é finito.
> h1 \in H ==> existe h2 = g*h1 \in H.
> 
> Seja h2 \in H, tal que h2 pertence somente a H.
> Há um h1 \in H tal que g*h1=h2. Isso também pode sempre
> ser feito pois o grupo (G uniao H,*) é finito.  Neste
> caso o coset a esquerda de G por elementos de H é o próprio
> H, logo o subgrupo não é normal.
> Temos que provar agora que G é maximal.  Suponha
> que haja G1 tal que G <=G1<=H e G1 não é maximal. Neste
> caso como o coset G por elementos de H é o próprio H então
> um elemento pertencente a G1 deve estar em H (porque?),
> logo pela propriedade de grupo G1 = H.
> 
> Pelo menos eu tentei...............
> 
> Ronaldo L. Alonso
> 
> Um abraço. 
> 
>> 
>> Pro segundo eu nao tenho a mais remota ideia.
>> 
>> Qualquer ajuda serah bem vinda.
>> 
>> Um abraco, 
>> Claudio. 
>> 
>> =========================================================================
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> =========================================================================
>> 
>> ---------- 
> 
> _________________________________________________________
> Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams?
> Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br
> Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
> 


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================