Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções inversas

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 14.02.04 01:46, Rafael at cyberhelp@bol.com.br wrote:

> Cláudio,
> 
> Muito obrigado pela explicação. Gostaria ainda de perguntar se você conhece
> algum teorema sobre uma função ter ou não a sua função inversa em termos de
> funções elementares.
Nao conheco, mas sei que existe um algoritmo que testa se a integral
indefinida de alguma funcao pode ser expressa como combinacao de funcoes
elementares. Jah houve inclusive mensagens a respeito na lista.

> Afinal, isso seria de grande utilidade para funções não
> polinomiais: por exemplo, já sabemos que uma equação de quinto grau só pode
> ser resolvida em "casos particulares", e não de forma geral, como provaram
> Abel e Galois.
> Já sobre o seu "desafio", vamos lá. Tomando y = f(x) = x^3 + 3x, o
> conjunto-verdade é {0 ; i*sqrt(3) ; -i*sqrt(3)}. Claramente, após a
> construção gráfica, observa-se que a função é bijetora, portanto, a sua
> função inversa existe.
Um argumento que apela pra construcao grafica nao eh muito rigoroso. Talvez
seja mais facil observar que f eh ilimitada e a derivada f'(x) = 3x^2 + 3 eh
sempre positiva. Ou entao, voce pode provar no braco que para todo y em R,
existe x em R tal que x^3 + 3x = y (que foi o que voce fez mais abixo) e que
x^3 + 3x = y^3 + 3y (x e y reais) implica y = x (uma fatoracao facil).

> Como obtê-la? Simples: y = x^3 + 3x <=> x^3 + 3x - y = 0, que já é uma
> equação reduzida do terceiro grau. Para resolvê-la, cada um usa o método que
> preferir, convier ou souber. Creio que o método de Tartaglia é o que melhor
> se aplique, sem o uso de qualquer variação.
> 
> Assim, dada uma equação do tipo x^3 + px = q, temos p = 3 e q = y. Uma das
> soluções é obtida diretamente por x = cbrt(q/2 + sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) +
> cbrt(q/2 - sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) = cbrt(y/2 + sqrt((y/2)^2+1)) +
> cbrt(y/2 - sqrt((y/2)^2+1)). Permutando as variáveis, a função inversa de
> f(x) é dada por y =  cbrt(x/2 + sqrt((x/2)^2+1)) + cbrt(x/2 -
> sqrt((x/2)^2+1)). Talvez, a expressão ainda possa ser simplificada, mas não
> creio que seja essa a intenção.
A ideia eh essa mesmo.
 
> De todo modo, fiquei com uma dúvida: a função inversa de f(x) = x^3 + 3x é
> única se considerarmos f: R -> R, certo? E se considerássemos f: C -> C?
Tambem seria. A inversa de uma funcao, se existir, eh unica.
Soh que f: C -> C dada por f(x) = x^3 + 3x nao eh injetora. Por exemplo,
f(0) = f(i*raiz(3)) = f(-i*raiz(3)) = 0. Logo, f nao possui inversa.

> Se não estou errado, teríamos um "gráfico de 4 dimensões" e estudar a função
> não me parece fácil definitivamente. E o que me pergunto é exatamente: o
> conceito de bijeção vale, de forma semelhante, para C?
O conceito de bijecao vale pra qualquer conjunto (mesmo nao numerico), assim
como sempre vale o fato de que f tem uma inversa se e somente se f eh uma
bijecao.

> No caso de ser
> válido, faz sentido (e é útil) considerar que a função f: C -> C tenha mais
> do que uma função inversa?
Nao. Veja acima.

> Ficarei grato se você puder esclarecer, Cláudio, embora imaginar tais "4
> dimensões" já me pareça um tanto difícil...
A dificuldade de visualizacao nao tem nada a ver com a existencia de
inversas. Eh mais uma limitacao da mente humana. No mais, voce nao precisa
de graficos. Voce pode sempre trabalhar algebricamente (e, portanto, tratar
o R^4 ou o C^2 como um conjunto de quadruplas ordenadas de numeros reais).
 
Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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