[obm-l] Re: [obm-l] Funções inversas

["Rafael" <cyberhelp@xxxxxxxxxx>]

Cláudio,

Muito obrigado pela explicação. Gostaria ainda de perguntar se você conhece
algum teorema sobre uma função ter ou não a sua função inversa em termos de
funções elementares. Afinal, isso seria de grande utilidade para funções não
polinomiais: por exemplo, já sabemos que uma equação de quinto grau só pode
ser resolvida em "casos particulares", e não de forma geral, como provaram
Abel e Galois.
Já sobre o seu "desafio", vamos lá. Tomando y = f(x) = x^3 + 3x, o
conjunto-verdade é {0 ; i*sqrt(3) ; -i*sqrt(3)}. Claramente, após a
construção gráfica, observa-se que a função é bijetora, portanto, a sua
função inversa existe.
Como obtê-la? Simples: y = x^3 + 3x <=> x^3 + 3x - y = 0, que já é uma
equação reduzida do terceiro grau. Para resolvê-la, cada um usa o método que
preferir, convier ou souber. Creio que o método de Tartaglia é o que melhor
se aplique, sem o uso de qualquer variação.

Assim, dada uma equação do tipo x^3 + px = q, temos p = 3 e q = y. Uma das
soluções é obtida diretamente por x = cbrt(q/2 + sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) +
cbrt(q/2 - sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) = cbrt(y/2 + sqrt((y/2)^2+1)) +
cbrt(y/2 - sqrt((y/2)^2+1)). Permutando as variáveis, a função inversa de
f(x) é dada por y =  cbrt(x/2 + sqrt((x/2)^2+1)) + cbrt(x/2 -
sqrt((x/2)^2+1)). Talvez, a expressão ainda possa ser simplificada, mas não
creio que seja essa a intenção.

De todo modo, fiquei com uma dúvida: a função inversa de f(x) = x^3 + 3x é
única se considerarmos f: R -> R, certo? E se considerássemos f: C -> C? Se
não estou errado, teríamos um "gráfico de 4 dimensões" e estudar a função
não me parece fácil definitivamente. E o que me pergunto é exatamente: o
conceito de bijeção vale, de forma semelhante, para C? No caso de ser
válido, faz sentido (e é útil) considerar que a função f: C -> C tenha mais
do que uma função inversa?

Ficarei grato se você puder esclarecer, Cláudio, embora imaginar tais "4
dimensões" já me pareça um tanto difícil...


Abraços,

Rafael de A. Sampaio




----- Original Message -----
From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, February 12, 2004 9:54 AM
Subject: Re: [obm-l] Funções inversas


> Infelizmente nao ha nada a se fazer. Ha certas funcoes que nao podem ser
> expressas como combinacao de funcoes elementares, mas que no entanto
existem
> e podem ateh ser bijetoras, tais com as inversas das funcoes acima
(imagino
> que voce queira dizer que a segunda eh uma bijecao entre o conjunto dos
> reais positivos e o conjunto dos reais). A mesma coisa ocorre ateh com
> algumas funcoes polinomiais. Por exemplo, qual a inversa de h:R -> R dada
> por h(x) = x^5 + 6x + 3? Por outro lado, eh possivel achar uma expressao
> para a inversa de k:R _> R dada por k(x) = x^3 + 3x. Voce consegue?
>
> Um abraco,
> Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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