[obm-l] Fecho de bolas abertas

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Este assunto nao deve interessar aa maioria do pessoal desta lista, mas uma
conclusao interessante que soh recentemente vim a descobrir eh a seguinte:
Seja S um espaco metrico com funcao distancia d e seja p um elemento de S.
Uma condicao necessaria e suficiente para que o fecho de toda bola aberta
centrada em p seja a bola fechada de mesmos centro e raio eh que p seja o
unico minimo relativo da funcao f:S->[0, inf) dada por f(x) = d(x,p) .
Prova: 

Necessidade:
Suponhamos que o fecho de toda bola aberta centrada em p seja a bola fechada
de mesmos centro e raio. Se x<>p, entao r = d(x,p) = f(x) >0, e x pertence a
F(p,r), a bola fechada de centro em p e raio r. Como F(p,r) eh o fecho de
B(p,r), a bola aberta de centro em p e raio r, toda vizinhanca V de x
intersecta B(p,r) e, portanto, contem um elemento y para o qual d(y,p) =
f(y) < r = f(x).  Logo, toda vizinhanca de x contem um elemento y com f(y) <
f(x), do que deduzimos que f nao tem um minimo relativo em x<>p. Dado que f
apresenta, claramente, um minimo absoluto, logo relativo, em p (pois d(p,p)
=0), temops que p eh o unico minimo relativo de f em S.    

Suficiencia:
Suponhamos que p seja o unico minimo relativo de f em S e seja r>0. Se x
pertence a F(p,r) e x<>p, entao f(x) <= r e f nao tem um minimo relativo em
x. Em virtude desta ultima condicao, toda vizinhanca V de x contem um
elemento y com f(y) < f(x). Logo, f(y) = d(y,p) < r e y pertence a B(p,r),
do que deduzimos que toda vizinhanca V de x intersecta B(p,r). Segue-se
portanto que x pertence a B`(p,r), o fecho de B(p,r). Como p estah em
B(p,r), p estah automaticamente em B`(p,r), e concluimos assim que todo
elemento de F(p,r) pertence a B`(p,r), ou seja, F(p,r) estah contida em
B`(p,r). Dado que em todo espaco metrico B`(p,r) estah sempre contida em
F(p,r), concluimos que F(p,r) = B`(p,r), completando a prova da suficiencia.

Eh facil ver que, em todo espaco metrico, B`(p,r) estah sempre contida em
F(p,r). De fato, se x nao pertence a F(p,r), entao l =d(x,p) > r e a
vizinhanca de x B(x, l-r) nao intersecta B(p,r).   Logo, x  nao estah em
B`(p,r). 

Eh entretanto possivel que B`(p,r) seja um subconjunto proprio de F(p,r). Um
exemplo trivial eh tomar R com a metrica discreta, dada por d(x,y) = 1 se
x<>y e d(x,x) =0. Se r=1, entao B(p,r) = B`(p,r) = {p}, enquanto que F(p,r)
eh o proprio R. Neste caso, todo x<>p eh minimo relativo de f(x) = d(x,p) e
p eh minimo global desta funcao. Interessante observar que esta funcao eh
continua em todo o R, a despeito de uma aparente mas inexistente
descontinuidade em p.

Artur


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