Re: [obm-l] Problema Interessante

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Feb 10, 2004 at 12:21:02PM -0800, Artur Costa Steiner wrote:
> Eu estou me confundindo porque eu acho que uma vez vi
> a seguinte afirmacao: "Com excecao de -1, 0 e 1, a
> parte real de uma raiz da unidade nao eh um inteiro
> algebrico" . Esta afirmacao eh falsa, certo?

Eu não conhecia, ou pelo menos não me lembro de conhecer, mas é verdadeira.
Segue abaixo o esboço da demonstração que me ocorreu.
Talvez exista outra mais simples.

A parte real é algo da forma cos(a*pi/b). Como sabemos
que (cos(a*pi/b) + i*sin(a*pi/b)) é um inteiro algébrico,
cos(...) é inteiro algébrico se e somente se sin(...) o é.
Vamos provar que estes números reais só são inteiros algébricos
casos triviais que você citou. Para ver isso vamos determinar
o polinômio de coeficientes inteiros irredutível com raiz
cos(a*pi/b) ou sin(a*pi/b).

Primeiro vou construir os polinômios de Chebyshev:
T0(x) = 1, T1(x) = x, Tn(x) = 2*x*T{n-1}(x) - T{n-2}(x),
assim T2(x) = 2x^2 - 1, T3(x) = 4x^3 - 3x, T4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1,
T5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x, T6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1.
É fácil provar que Tn(x) = 2^(n-1)x^n + (termos de grau mais baixo),
T{2n}(x) = (-1)^n + (termos de grau par mais alto),
T{2n+1}(x) = (-1)^n (2n+1) x + (termos de grau ímpar mais alto)
Também não é difícil provar que que as raízes de T{2n}(x) são
sin((2k+1)*pi/4n) e que as raízes de T{2n+1} são sin(k*pi/(2n+1)).
Em particular, Tn/Tm é um polinômio se e somente se n=lm, l inteiro ímpar.
A partir daí não é difícil provar que 
Yn = Produto_{l divisor ímpar de n} (T{n/l})^(mobius(l))
é um polinômio e que
Tn = Produto_{m divisor de n, n/m ímpar} Ym.
Temos Y2 = T2, Y3(x) = 4x^2 - 3, Y4 = T4, Y5 = 16x^4 - 20x^2 + 5,
Y6(x) = 16x^4 - 16x^2 + 1, ...,
Y15(x) = 256 x^8  - 448 x^6  + 224 x^4  - 32 x^2  + 1.
Claramente, para n > 1, Yn é um polinômio com coeficiente líder
uma potência de 2 e coeficiente do termo independente ímpar:
em particular, Yn nunca é múltiplo de um inteiro (em Z[x]).
É consideravelmente mais difícil provar que Yn é irredutível:
se você já viu a prova de que o grau de uma raiz primitiva de
ordem n é euler(n), segue daí, ou é análogo.
Os polinômios Yn são os nosso heróis:
é bem claro (se você acreditar nas coisas que eu afirmei)
que uma raiz de um Yn não é um inteiro algébrico.

Sejam a e b são primos entre si, b > 0. Vamos dividir em casos.
Se b é ímpar então sin(a*pi/b) é raiz de Yb.
Se a é ímpar e b é múltiplo de 4 então sin(a*pi/b) é raiz de Y{b/2}.
Se a é ímpar e b é par mas não múltiplo de 4,
então ao invés de sin(a*pi/b) considere
cos(a*pi/b) = sin(pi/2 - a*pi/b) = sin((b/2 - a)*pi/b).
Mas b/2 - a é par. Faça a' = (b/2 - a)/2, b' = b/2 e temos
cos(a*pi/b) = sin(a'*pi/b') com b' ímpar, portanto raiz de Yn.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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