Re: [obm-l] Problema Interessante

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Obrigado Claudio. Mas eu lembrei errado, o teorema que
eu citei nao existe....Na realidade, conforme o
Nicolau afirmou, as partes reais de raizes inteiras da
unidade sao sempre inteiros algebricos. Justamente o
contario do que assumi na minha falsa "prova"...Eh
facil ver isso, eu me precipitei.
Um abraco
Artur

--- Cláudio_(Prática)
<claudio@praticacorretora.com.br> wrote:
> Oi, Artur:
> 
> Tem também um teorema que diz que se x e cos(pi*x)
> são ambos racionais,
> então x = k/2 ou x = k/3 para algum k inteiro, mas
> não se aplica a este
> problema pois (raiz(5)-1)/2 é irracional.
> 
> Mesmo não sendo aplicável, acho que é um resultado
> interessante por si mesmo
> e cuja demonstração não é difícil.
> A idéia é mostrar, por indução, que cos(n*pi*x) pode
> ser expresso como um
> polinômio:
> p(t) = a_0 + a_1*t + ... + a_n*t^n,
> de grau n, em cos(pi*x) tal que:
> a_n = 2^(n-1)
> e
> para 2 <= k <= n, 2^(k-1) divide a_k.
> 
> Isso implica que 2*cos(pi*x) é raiz de um polinômio
> mônico de grau n e
> coeficientes inteiros. Logo, se 2*cos(pi*x) é
> racional, então 2*cos(pi*x) só
> pode ser inteiro (pelo bom e velho teorema das
> raízes racionais) ==>
> cos(pi*x) = -1, -1/2, 0, 1/2 ou 1 ==> x = k/2 ou x =
> k/3 com k inteiro.
> 
> Um corolário que eu acho interessante é que se as
> medidas dos lados e dos
> ângulos (em graus) de um triângulo são todas
> racionais, então esse triângulo
> é equilátero.
> 
> *****
> 
> De qualquer forma talvez dê pra aproveitar alguma
> idéia do teorema acima pra
> resolver o problema do Márcio.
> 
> Um abraço,
> Claudio.
> 
> ----- Original Message -----
> From: "Artur Costa Steiner" <artur@opendf.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Tuesday, February 10, 2004 12:50 PM
> Subject: Re: [obm-l] Problema Interessante
> 
> 
> > O Marcio Cohen propos, no ultimo domingo, um
> problema interessante, provar
> > que x = arccos[((sqrt(5)-1)/2]/pi eh irracional.
> Eu achei que isto poderia
> > ter solucao por fracoes continuas ou com base na
> divisao aurea. Mas por
> aih
> > nao cheguei a nada.
> >
> > Depois eu notei que (sqrt(5)-1))/2 eh uma das dua
> raizes da equacao do
> > segundo grau, de coeficientes inteiros, 2x^2 + x
> -1 =0, de modo que
> > (sqrt(5)-1))/2 eh algebrico. Observamos ainda que
> cos(pi*x)
> =(sqrt(5)-1))/2,
> > o que implica em que a parte real de e^(pi*x) seja
> Re[^(pi*x)] =
> > sqrt(5)-1))/2. Neste ponto eu me lembrei que
> parece que hah um teorema
> (mao
> > estou abolutamente certo) o qual diz que, com
> excecao de -1, 0 e 1, as
> > partes reais das raizes inteiras da unidade sao
> transcendentes. Se alguem
> se
> > lembrar deste teorema, caso efetivamente exista, e
> puder apresentar ou
> mesmo
> > rascunhar uma prova, eu gostaria.
> >
> > Bom, assumindo-se que o citado teorema
> efetivamente exista, concluimos que
> > Re[e^(pi*x)] ek algebrico e que, desta forma,
> e^(pi*x*i) nao eh raiz da
> > unidade. Se x for racional, entao existem inteiros
> p>0 e q<>0 tais que x
> > =p/q. Logo pi*x*i = pi* p/q *i e e^(pi*x*i)=
> cos(p*pi/q) + i *
> sen(p*pi/q).
> > Logo, [e^(pi*x*i]*q = cos(p*pi) + i * sen(p*pi).
> Mas eh sempre possivel
> > escolhermos p/q = x de modo que p seja par e que,
> consequentemente,
> > cos(p*pi)  = 1 e sen(p*pi) =0. Isto nos mostra que
> existe q inteiro  tal
> que
> > [e^(pi*x*i]*q  =1 . A conclusao eh que se x eh
> racional entao e^(pi*x*i)
> eh
> > raiz da unidade para algum inteiro p.
> > dado que, no caso prooposto, e^(pi*x*i) nao eh
> raiz da unidade, segue-se
> que
> > x eh iracional.
> > Supondo-se, eh claro, que o teorema que citei
> existe...Vou tentar
> > demonstra-lo, se possivel.
> > Artur
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