Re: [obm-l] Problema Interessante

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

> Neste ponto eu me lembrei que parece que hah um teorema (mao
> estou abolutamente certo) o qual diz que, com excecao de -1, 0 e 1, as
> partes reais das raizes inteiras da unidade sao transcendentes. Se alguem
se
> lembrar deste teorema, caso efetivamente exista, e puder apresentar ou
mesmo
> rascunhar uma prova, eu gostaria. 

Você certamente está confundindo o enunciado. Se z^n = 1 então z é um
inteiro
algébrico, o conjugado z^(n-1) também é, e a parte real dele, (z +
z^(n-1))/2
é a metade de um inteiro algébrico logo um número algébrico.

[]s, N.

Eh, confundi mesmo. O teorema certo atesta justamente o contrario do do que
admiti na minha demosntracao - que, eh claro, estah totalmente errada. 
Nao eh dificil provar o teorema acima. Se z^n =1, entao as propriedades dos
polinomios de coeficientes reais assegura que z'^(n) =1, sendo z' o
conjugado de z. Logo, z' eh um inteiro algebrico, o que implica que Re(z) =
z+z')/2 tambem o seja. Alem disto, temos que z^(n-1) = z^(n)/z = 1/z =
z'/zz' = z'/|z|^2 = z'.
Artur  

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