Re: [obm-l] irracionais

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

>Entao quando decompormos N e verificarmos que as potencias dos primos de N
>forem multiplos de n a potencia N^(1/n) eh racional ? Eh isso ? 
Sim, de fato. Neste caso, existe um natural k tal que k^n = N. N^(1/n) neste
caso eh nao apenas racional mas inteiro. Se, entrtanto, houver um unico
primo p na fatoracao de N cuja potencia nao seja um multiplo de n, entao
N^(1/n) eh irracional.  

Na demonstracao abaixo, na frase  "Temos entao, para cada um deste r's, que
r = q*n + s, q>0 inteiro, 0<s<n inteiro", na realidade eh q>=0. q=0 eh
possivel. 

Um abraco
Artur 

Em uma mensagem de 3/2/2004 19:23:43 Hor. de verão leste da Am. Sul,
artur@opendf.com.br escreveu: 



Isso pode ser visto como um caso partular de um teorema mais geral. Se N>1 e

n>1 sao inteiros e N nao for uma potencia n perfeita, entao N^(1/n) eh 
irracional. Prova: 
Como N nao eh uma potencia n perfeita, a decomposicao de N em fatores primos

contem fatores (pelo menos 1) elevados a expoentes r que nao sao h multiplos

de n.  Temos entao, para cada um deste r's, que r = q*n + s, q>0 inteiro, 
0<s<n inteiro.  Logo, N pode ser representado por N = K * M, sendo K uma 
potencia n perfeita e M um numero inteiro cuja decomposicao em fatores 
primos contempla todos estes fatores com expoentes < n. Como K^(1/n) eh 
inteiro, para mostramos que N^(1/n) eh irracional basta portanto mostrarmos 
que M^(1/n) eh irracional.   
Admitamos que M^(1/n)= m1/m2, sendo m1 e m2>0 primos entre si. Entao, m1^n= 
M * m2^n. Sendo p um dos primos que comparecem na decomposicao de M, temos 
emtao que M= p^q * M' , q<n, M' inteiro (nao contendo o fator p), e, 
portanto,  m1^n = p^q * M' *  m2^n.  Logo, m1^n, e portanto m1, sao 
multiplos de p. Entao, m1 = k*p, do que se segue que k^n * p^n =  p^q * M' *

m2^n e   k^n * p^(n-q) = M' *  m2^n. Temos que n>q e que M' nao contem o 
fator p em sua decomposicao em fatores primos.   Para que a ultima igualdade

se verifique, temos entao necessariamente que m2^n, e portanto m, eh 
multiplo de p. Como isto contraria a hipotese de que m1 e m2 sao primos 
entre si, segue-se que M eh irracional, o mesmo se verificando para N. 
Artur 

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