Re: [obm-l] irracionais

[Faelccmm@xxxxxxx]

Entao quando decompormos N e verificarmos que as potencias dos primos de N forem multiplos de n a potencia N^(1/n) eh racional ? Eh isso ? 


Em uma mensagem de 3/2/2004 19:23:43 Hor. de verão leste da Am. Sul, artur@opendf.com.br escreveu:


> Isso pode ser visto como um caso partular de um teorema mais geral. Se N>1 e
> n>1 sao inteiros e N nao for uma potencia n perfeita, entao N^(1/n) eh
> irracional. Prova:
> Como N nao eh uma potencia n perfeita, a decomposicao de N em fatores primos
> contem fatores (pelo menos 1) elevados a expoentes r que nao sao h multiplos
> de n.  Temos entao, para cada um deste r's, que r = q*n + s, q>0 inteiro,
> 0<s<n inteiro.  Logo, N pode ser representado por N = K * M, sendo K uma
> potencia n perfeita e M um numero inteiro cuja decomposicao em fatores
> primos contempla todos estes fatores com expoentes < n. Como K^(1/n) eh
> inteiro, para mostramos que N^(1/n) eh irracional basta portanto mostrarmos
> que M^(1/n) eh irracional.  
> Admitamos que M^(1/n)= m1/m2, sendo m1 e m2>0 primos entre si. Entao, m1^n=
> M * m2^n. Sendo p um dos primos que comparecem na decomposicao de M, temos
> emtao que M= p^q * M' , q<n, M' inteiro (nao contendo o fator p), e,
> portanto,  m1^n = p^q * M' *  m2^n.  Logo, m1^n, e portanto m1, sao
> multiplos de p. Entao, m1 = k*p, do que se segue que k^n * p^n =  p^q * M' *
> m2^n e   k^n * p^(n-q) = M' *  m2^n. Temos que n>q e que M' nao contem o
> fator p em sua decomposicao em fatores primos.   Para que a ultima igualdade
> se verifique, temos entao necessariamente que m2^n, e portanto m, eh
> multiplo de p. Como isto contraria a hipotese de que m1 e m2 sao primos
> entre si, segue-se que M eh irracional, o mesmo se verificando para N. 
> Artur